2018年センター試験 数学ⅠA 第1問 命題

2018年センター試験数学ⅠA 第1問命題の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年センターⅠA 第1問命題(1) 全体集合 $U$ を $U=\{x\,|\,x\,は\,20\,以下の自然数\}$ とし，次の部分集合 $A,~B,~C$ を考える。

\begin{align*}
&A=\{x\,|\,x\in Uかつ\,x\,は\,20\,の約数\} \\[4pt]
&B=\{x\,|\,x\in Uかつ\,x\,は\,3\,の倍数\} \\[4pt]
&C=\{x\,|\,x\in Uかつ\,x\,は偶数\}
\end{align*}

集合 $A$ の補集合を $\overline{A}$ と表し，空集合を $\varnothing$ と表す。
　次の$\mybox{キ}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。
集合の関係
(a) $A\subset C$
(b) $A\cap B=\varnothing$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{キ}$ である。

\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
& ⓪ & ① & ② & ③ \\\hline
(\mathrm{a}) & 正 & 正 & 誤 & 誤 \\\hline
(\mathrm{b}) & 正 & 誤 & 正 & 誤 \\\hline
\end{array}
\end{align*}

　次の $\mybox{ク}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。
集合の関係
(c) $(A\cup C)\cap B=\{6,~12,~18\}$
(d) $(\overline{A}\cap C)\cup B=\overline{A}\cap (B\cup C)$
の正誤の組合せとして正しいものは $\myBox{ク}$ である。

\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
& ⓪ & ① & ② & ③ \\\hline
(\mathrm{c}) & 正 & 正 & 誤 & 誤 \\\hline
(\mathrm{d}) & 正 & 誤 & 正 & 誤 \\\hline
\end{array}
\end{align*}

(2) 実数 $x$ に関する次の条件 $p,~q,~r,~s$ を考える。

\begin{align*}
p:\abs{x-2}>2,~~q:x<0,~~r:x>4,~~s:\sqrt{x^2}>4
\end{align*}

　次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
　$q$ または $r$ であることは，$p$ であるための $\myBox{ケ}$。また，$s$ は $r$ であるための $\myBox{コ}$。
⓪ 必要条件であるが，十分条件ではない
① 十分条件であるが，必要条件ではない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2018年センター数学ⅠA 命題を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

条件を満たしているかどうかを判定する問題。丁寧に考えていこう。

【キの解答】
条件(a)の正誤を考える。集合の包含関係だから，要素を考えよう。

\begin{align*}
&A=\{1,~2,~4,~5,~10,~20\} \\[4pt]
&C=\{2,~4,~6,~8,~10,~12,~14,~16,~18,~20\}
\end{align*}

集合 $A$ には1と5が含まれるが，集合 $C$ には1と5が含まれないため，$A\subset C$ とは言えない。したがって，(a)は誤り。
次に条件(b)の正誤を考える。

\begin{align*}
B=\{3,~6,~9,~12,~15,~18\}
\end{align*}

よって，$A\cap B=\varnothing$ となるから，(b)は正しい。
したがって，$\myBox{キ}=②$

ヒロ

次の問題も，和集合や共通部分を丁寧に考えて，正誤を判定しよう。

【クの解答】
条件(c)の正誤を考える。

\begin{align*}
A\cup C=\{1,~2,~4,~5,~6,~8,~10,~12,~14,~16,~18,~20\}
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
(A\cup C)\cap B=\{6,~12,~18\}
\end{align*}

となる。よって，(c)は正しい。
次に条件(d)の正誤を考える。
左辺の集合から考える。$\overline{A}\cap C$ は20以下の自然数で，偶数だけど20の約数でない数であるから

\begin{align*}
\overline{A}\cap C=\{6,~8,~12,~14,~16,~18\}
\end{align*}

となる。これと集合 $B$ との和集合を考えて

\begin{align*}
(\overline{A}\cap C)\cup B=\{3,~6,~8,~9,~12,~14,~15,~16,~18\}
\end{align*}

右辺の集合を考える。

\begin{align*}
B\cup C=\{2,~3,~4,~6,~8,~9,~10,~12,~14,~15,~16,~18,~20\}
\end{align*}

これと $\overline{A}$ との共通部分は，$B\cup C$ のうち20の約数でない数であるから

\begin{align*}
\overline{A}\cap(B\cup C)=\{3,~6,~8,~9,~12,~14,~15,~16,~18\}
\end{align*}

となる。よって，(d)は正しい。
したがって，$\myBox{ク}=⓪$

ヒロ

ちなみにベン図で考えると次のようになる。

【クの別解】
$A\nsubseteq C$ であることと $A\cap B=\varnothing$ であることが分かっていて，$B\cap C\neq\varnothing$ であることは明らかであるから，ベン図は次のようになる。

ベン図より，$(A\cup C)\cap B=B\cap C$ となる。$B\cap C$ の要素は20以下の自然数のうち，3の倍数で偶数，すなわち20以下の自然数で6の倍数である。よって，

\begin{align*}
(A\cup C)\cap B=B\cap C=\{6,~12,~18\}
\end{align*}

となる。また，$\overline{A}\cap C$ は次の斜線部分となる。

よって，$(\overline{A}\cap C)\cup B$ は次の斜線部分となる。

右辺の集合を考える。$B\cup C$ は次の斜線部分を表す。

よって，$\overline{A}\cap(B\cup C)$ は次の斜線部分となる。

(2)の解答

(2) 実数 $x$ に関する次の条件 $p,~q,~r,~s$ を考える。
\begin{align*}
p:\abs{x-2}>2,~~q:x<0,~~r:x>4,~~s:\sqrt{x^2}>4
\end{align*}
　次の $\mybox{ケ}$, $\mybox{コ}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
　$q$ または $r$ であることは，$p$ であるための $\myBox{ケ}$。また，$s$ は $r$ であるための $\myBox{コ}$。
⓪ 必要条件であるが，十分条件ではない
① 十分条件であるが，必要条件ではない
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない