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2020年センター試験 数学ⅡB 第1問 三角関数

2020年 センター数学ⅡB 三角関数数学IAIIB
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2020年センター試験 数学ⅡB 第1問 三角関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年 センターⅡB 第1問 三角関数〔1〕
(1) $0\leqq\theta<2\pi$ のとき
\begin{align*} \sin\theta>\sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)~\cdots\cdots① \end{align*}
となる $\theta$ の値の範囲の求めよう。
 加法定理を用いると
\begin{align*} \sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{\sqrt{\myBox{ア}}}{\myBox{イ}}\cos\theta+\dfrac{\myBox{ウ}}{\mybox{イ}}\sin\theta \end{align*}
である。よって,三角関数の合成を用いると,①は
\begin{align*} \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{\myBox{エ}}\right)<0 \end{align*}
と変形できる。したがって,求める範囲は
\begin{align*} \dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}\pi<\theta<\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\pi \end{align*}
である。
(2) $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ とし,$k$ を実数とする。 $\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $x$ の2次方程式 $25x^2-35x+k=0$ の解であるとする。 このとき,解と係数の関係より $\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の 値を考えれば,$k=\myBox{ケコ}$ であることがわかる。  さらに,$\theta$ が $\sin\theta\geqq\cos\theta$ を満たすとすると, $\sin\theta=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$, $\cos\theta=\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ である。 このとき,$\theta$ は $\myBox{ソ}$ を満たす。$\myBox{ソ}$ に当てはまるものを, 次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。
⓪ $0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{12}$  ① $\dfrac{\pi}{12}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{6}$
② $\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{4}$  ③ $\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{3}$
④ $\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta<\dfrac{5}{12}\pi$  ⑤ $\dfrac{5}{12}\pi\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$
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(1)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

加法定理を用いて変形しよう。

【ア~ウの解答】
\begin{align*} &\sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right) \\[4pt] &=\sqrt{3}\left(\cos\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\dfrac{\pi}{3}\right) \\[4pt] &=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\right) \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\dfrac{3}{2}\sin\theta \end{align*}
ヒロ
ヒロ

 いま行った変形を利用して①を解こう。

【エ~クの解答】
①より
\begin{align*} &\sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\dfrac{3}{2}\sin\theta \\[4pt] &\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta<0 \\[4pt] &\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<0 \end{align*}
$0\leqq\theta<2\pi$ のとき $\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{7}{3}\pi$ であるから
\begin{align*} &\pi<\theta+\dfrac{\pi}{3}<2\pi \\[4pt] &\dfrac{2}{3}\pi<\theta<\dfrac{5}{3}\pi \end{align*}

(2)の考え方と解答

(2) $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ とし,$k$ を実数とする。 $\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $x$ の2次方程式 $25x^2-35x+k=0$ の解であるとする。 このとき,解と係数の関係より $\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の 値を考えれば,$k=\myBox{ケコ}$ であることがわかる。
 さらに,$\theta$ が $\sin\theta\geqq\cos\theta$ を満たすとすると, $\sin\theta=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$, $\cos\theta=\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ である。 このとき,$\theta$ は $\myBox{ソ}$ を満たす。$\myBox{ソ}$ に当てはまるものを, 次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。
⓪ $0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{12}$  ① $\dfrac{\pi}{12}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{6}$
② $\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{4}$  ③ $\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{3}$
④ $\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta<\dfrac{5}{12}\pi$  ⑤ $\dfrac{5}{12}\pi\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$

ヒロ
ヒロ

「解と係数の関係により」と誘導されているから簡単だね。

【ケコの解答】
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $x$ の2次方程式 $25x^2-35x+k=0$ の解であるから
\begin{align*} &\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{7}{5} \\[4pt] &\sin\theta\cos\theta=\dfrac{k}{25} \end{align*}
よって
\begin{align*} k&=25\sin\theta\cos\theta \\[4pt] &=\dfrac{25}{2}\{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1\} \\[4pt] &=\dfrac{25}{2}\left\{\left(\dfrac{7}{5}\right)^2-1\right\} \\[4pt] &=\dfrac{25}{2}\Cdota\dfrac{24}{25} \\[4pt] &=12 \end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は一瞬で求めたい問題。

【サ~セの解答】
空欄の形と $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{7}{5}$ から,$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は一方が $\dfrac{3}{5}$ でもう一方が $\dfrac{4}{5}$ であると分かる。$\sin\theta\geqq\cos\theta$ より
\begin{align*} \sin\theta=\dfrac{4}{5},~\cos\theta=\dfrac{3}{5} \end{align*}
ヒロ
ヒロ

$\theta$ の範囲を求めよう。

【ソの解答】
$\sin\theta>\cos\theta$ より,$\theta>\dfrac{\pi}{4}$ である。
$\theta$ と $\dfrac{\pi}{3}$ の大小を比較するために, $\cos\theta$ と $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ を比べる。
$\dfrac{3}{5}>\dfrac{1}{2}$ であるから,$\cos\theta>\cos\dfrac{\pi}{3}$ である。 よって,$\theta<\dfrac{\pi}{3}$
したがって,$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{3}$ となり $\myBox{ソ}=③$ である。

2020年 センター数学ⅡB 三角関数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

全体的に簡単である。

ヒロ
ヒロ

三角関数の不等式を解くために,加法定理の確認や三角関数の合成を利用することまで指示されているため,(1)はスムーズに解くことができる。

ヒロ
ヒロ

(2)の $k$ を求める問題ではよくある式変形を利用するので,これも大丈夫だろう。

ヒロ
ヒロ

最後の $\theta$ の範囲を求める問題は,過去にも似たような問題が出題されているため,悩まずに解けるだろう。

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