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【数学ⅡB】三角関数の半角の公式【関西大・慶應義塾大・星薬科大】

半角の公式数学IAIIB
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ここでは,三角関数の半角の公式について説明します。

三角関数の半角の公式は,2倍角の公式と同様に,加法定理から導かれますが,覚えて使いこなせるようにしましょう。

半角の公式は「次数を下げるための式」として使われることがあることも覚えておくと良いでしょう。

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半角の公式

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半角の公式とは次のようなものである。

自由入力
  1. $\displaystyle
    \sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}
    $
  2. $\displaystyle
    \cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}
    $
  3. $\displaystyle
    \tan^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}
    $
ヒロ
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サインとコサインで,符号がどっちだったっけ・・・となってしまうが,解決策を2つ紹介しておく。

【$\theta$ に適当な値を代入する】
 $\theta=0$ を代入すると,$\sin0=0$ であるから,$\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$ と分かる。$\cos0=1$ であるから,$\cos^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1+\cos\theta}{2}$ と分かる。
 $\theta=0$ でなくても,$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ を代入するのもアリ。
ヒロ
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もう1つは語呂合わせだ。

【語呂合わせ】
 $\sin^2\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1-\cos\theta}{2}$ は「シメジ半額2-1麻衣子」と覚えよう。2年1組の麻衣子ちゃんが「シメジいかがですか~?半額ですよ~!」ってシメジを半額で売ってる様子を想像しよう。
 $\sin^2$ の部分が「シメジ」,$\dfrac{\theta}{2}$ が $\theta$ の半角(はんかく)だから(訛ったのか)濁点がついて「半額(はんがく)」で左辺が終わり。右辺の「2分の1マイナスコサイン」の「2分の1」の部分が「2-1(2の1)」で「マイナスコサイン」の部分を省略して「マイコ(麻衣子)」という感じ。
 こんなことを言っていたら,生徒が一言「じゃあ,コサインの方は『小さじ半額2-1プー子』ですね!」と言った。言った本人も含めてみんな意味が分からず,笑った記憶がある。つまらないことであるが,つまらないからこそ覚えている。語呂合わせなんてそんなものだ。インパクトがあって印象に残れば忘れないものである。
ヒロ
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タンジェントについては,サインとコサインの符号が素早く判断できれば大丈夫だろう。

ヒロ
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ここまで言っておいて言うことではないかもしれないが,「覚え方」なんてどうでも良いから,半角の公式を覚えて使いこなせるようしよう。

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