ここでは，三角関数を含む方程式について説明します。
「三角比を含む方程式」と異なるのは，角の単位がラジアンであることと，扱う角の範囲が広くなっている可能性があることでしょう。
また，2次方程式や3次方程式に関する知識も必要になり，これまでの総合力が試される問題もあります。
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- 1 2020年 愛知学院大
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- 1 2018年 東京理科大
2020年 愛知学院大
2020年 愛知学院大$x$ の2次方程式 $4x^2+4(\cos\theta+1)x+(5\cos^2\theta+1)=0$（ただし $0\leqq\theta\leqq\pi$）について，次を求めなさい。
この方程式が重解をもつときの $\theta$ の値は $\myBox{ア}$ と $\myBox{イ}$（ただし $\myBox{ア}<\myBox{イ}$）であり，$\theta=\myBox{ア}$ のとき2次方程式の解は $\myhako$ となり，$\theta=\myBox{イ}$ のとき2次方程式の解は $\myhako$ となる。
この方程式が重解をもつときの $\theta$ の値は $\myBox{ア}$ と $\myBox{イ}$（ただし $\myBox{ア}<\myBox{イ}$）であり，$\theta=\myBox{ア}$ のとき2次方程式の解は $\myhako$ となり，$\theta=\myBox{イ}$ のとき2次方程式の解は $\myhako$ となる。
【考え方と解答】
2次方程式の係数に三角関数が含まれているけど，「2次方程式が重解をもつ」のは「判別式 $D=0$ のとき」であるから
また，重解は $x=-\dfrac{\cos\theta+1}{2}$ であるから，$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき
2次方程式の係数に三角関数が含まれているけど，「2次方程式が重解をもつ」のは「判別式 $D=0$ のとき」であるから
\begin{align*}
&\dfrac{D}{4}=4(\cos\theta+1)^2-4(5\cos^2\theta+1)=0 \\[4pt]
&(\cos\theta+1)^2-(5\cos^2\theta+1)=0 \\[4pt]
&-4\cos^2\theta+2\cos\theta=0 \\[4pt]
&\cos\theta(2\cos\theta-1)=0 \\[4pt]
&\cos\theta=0,~\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$0<\theta<\pi$ より，$\theta=\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\pi}{2}$&\dfrac{D}{4}=4(\cos\theta+1)^2-4(5\cos^2\theta+1)=0 \\[4pt]
&(\cos\theta+1)^2-(5\cos^2\theta+1)=0 \\[4pt]
&-4\cos^2\theta+2\cos\theta=0 \\[4pt]
&\cos\theta(2\cos\theta-1)=0 \\[4pt]
&\cos\theta=0,~\dfrac{1}{2}
\end{align*}
また，重解は $x=-\dfrac{\cos\theta+1}{2}$ であるから，$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ のとき
\begin{align*}
x=-\dfrac{\dfrac{1}{2}+1}{2}=-\dfrac{3}{4}
\end{align*}
$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$x=-\dfrac{1}{2}$ となる。x=-\dfrac{\dfrac{1}{2}+1}{2}=-\dfrac{3}{4}
\end{align*}