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【数学ⅡB】三角関数を含む方程式【愛知学院大・自治医科大・東京理科大】

三角関数を含む方程式数学IAIIB
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2018年 自治医科大

2018年 自治医科大方程式 $x^3+x^2-x+a=0$($a$ は実数)が虚数解 $\cos\theta+i\sin\theta$($i^2=-1$)$\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ をもつとき,$a$ の値を求めよ。
ヒロ
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3次方程式の解の1つが与えられた問題に対しては,様々な解法が考えられる。

ヒロ
ヒロ

次の記事では,1つの問題に対して4通りの解法を説明しているため,参考になるだろう。

【考え方と解答】
ここでは「代入して工夫する方法」で説明する。
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき,$\cos\theta+i\sin\theta\neq0$ であるから,
\begin{align*}
x^3+x^2-x+a=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
の解 $x$ は0ではない。よって,①の両辺を $x$ で割って
\begin{align*}
x^2+x-1+\dfrac{a}{x}=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
(\cos\theta+i\sin\theta)(\cos\theta-i\sin\theta)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
\dfrac{1}{\cos\theta+i\sin\theta}=\cos\theta-i\sin\theta
\end{align*}
が成り立つ。よって,②に $x=\cos\theta+i\sin\theta$ を代入すると
\begin{align*}
&(\cos\theta+i\sin\theta)^2+(\cos\theta+i\sin\theta)-1+a(\cos\theta-i\sin\theta)=0 \\[4pt]&(\cos^2\theta-\sin^2\theta+\cos\theta-1+a\cos\theta)+i(2\sin\theta\cos\theta+\sin\theta-a\sin\theta)=0 \\[4pt]&\{2\cos^2\theta+(a+1)\cos\theta-2\}+i\sin\theta(2\cos\theta+1-a)=0
\end{align*}
$\sin\theta$,$\cos\theta$,$a$ は実数であるから
\begin{align*}
\begin{cases}
2\cos^2\theta+(a+1)\cos\theta-2=0 &~\cdots\cdots③ \\[4pt]\sin\theta(2\cos\theta+1-a)=0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ のとき,$\sin\theta\neq0$ であるから,④より,$\cos\theta=\dfrac{a-1}{2}$
このとき,③より
\begin{align*}
&2\left(\dfrac{a-1}{2}\right)^2+(a+1)\Cdota\dfrac{a-1}{2}-2=0 \\[4pt]&(a^2-2a+1)+(a^2-1)-4=0 \\[4pt]&a^2-a-2=0 \\[4pt]&(a-2)(a+1)=0 \\[4pt]&a=2,~-1
\end{align*}
$a=2$ のとき,$\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ となり,$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす $\theta$ として,$\theta=\dfrac{\pi}{3}$ が存在する。
$a=-1$ のとき,$\cos\theta=-1$ となるから,$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす $\theta$ は存在しない。
 以上より,求める $a$ の値は $a=2$ である。

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