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(7)の解答
6個のボールを3つの箱に分ける方法について考える。次の分け方は何通りあるか。
(7) ボールを区別して，箱を区別せず，箱には少なくとも1個ボールを入れる。
ヒロ
箱に区別がないときは，ボールが入っている箱の個数で分類しよう。6個のボールを区別するから，分かりやすくするために，①～⑥の番号を付けて具体的に考えることが重要。
ヒロ
まずは $(4,1,1)$ のときを考えよう。
【4個，1個，1個に分けるとき】
今までは少ない方を選んできたけど，これは多い方を選ぼう。つまり，まず6個のボールから4個を選んで1つの箱に入れる。この時点で残っているボールは2個だから1個ずつ1つの箱に入れれば良い。この考え方だと
最初に6個のボールから1個を選んで1つの箱に入れる。
次に残りの5個から1個を選んで，別の箱に入れる。
最後に残った4個を空いている箱に入れる。
これで分けられるが，最初に選んだ1個と次に選んだ1個で，番号が入れ替わっただけのものが存在する。
例えば，最初に①を選んで，次に②を選んだときは
今は箱を区別せずに考えるため，この2つの分け方は同じ分け方になってしまう。したがって，1つの分け方に対して二重に数えていることになるから，2で割って
今までは少ない方を選んできたけど，これは多い方を選ぼう。つまり，まず6個のボールから4個を選んで1つの箱に入れる。この時点で残っているボールは2個だから1個ずつ1つの箱に入れれば良い。この考え方だと
\begin{align*}
\nCk{6}{4}=\nCk{6}{2}=15~通り
\end{align*}
もし，少ない方から選ぶとちょっと面倒臭くなる。\nCk{6}{4}=\nCk{6}{2}=15~通り
\end{align*}
最初に6個のボールから1個を選んで1つの箱に入れる。
次に残りの5個から1個を選んで，別の箱に入れる。
最後に残った4個を空いている箱に入れる。
これで分けられるが，最初に選んだ1個と次に選んだ1個で，番号が入れ替わっただけのものが存在する。
例えば，最初に①を選んで，次に②を選んだときは
\begin{align*}
①,~②,~③④⑤⑥
\end{align*}
と分けられる。また，最初に②を選んで，次に①を選んだときは①,~②,~③④⑤⑥
\end{align*}
\begin{align*}
②,~①,~③④⑤⑥
\end{align*}
と分けられる。②,~①,~③④⑤⑥
\end{align*}
今は箱を区別せずに考えるため，この2つの分け方は同じ分け方になってしまう。したがって，1つの分け方に対して二重に数えていることになるから，2で割って
\begin{align*}
\dfrac{6\Cdot5}{2}=15~通り
\end{align*}
としなければならない。\dfrac{6\Cdot5}{2}=15~通り
\end{align*}
ヒロ
次は $(3,2,1)$ のときを考えよう。
【3個，2個，1個に分けるとき】
$(4,1,1)$ のときと異なり，個数が違うので，小さい方から順に選んで箱に入れていけばよい。
6個のボールから1個を選んで箱に入れる。
残りの5個のボールから2個を選んで別の箱に入れる。
最後に残った3個のボールを空いている箱に入れる。
$(4,1,1)$ のときと異なり，個数が違うので，小さい方から順に選んで箱に入れていけばよい。
6個のボールから1個を選んで箱に入れる。
残りの5個のボールから2個を選んで別の箱に入れる。
最後に残った3個のボールを空いている箱に入れる。
\begin{align*}
6\times\nCk{5}{2}=60~通り
\end{align*}
6\times\nCk{5}{2}=60~通り
\end{align*}
ヒロ
最後に $(2,2,2)$ のときを考えよう。
【2個ずつの3組に分けるとき】
3つの箱をA, B, Cと区別して考える。まず6個のボールから2個を選んでAに入れる。次に残りの4個のボールから2個を選んでBに入れる。最後に残った2個のボールをCに入れる。これは3つの箱を区別して考えているから，箱の区別をなくすために $3!$ で割る。
3つの箱をA, B, Cと区別して考える。まず6個のボールから2個を選んでAに入れる。次に残りの4個のボールから2個を選んでBに入れる。最後に残った2個のボールをCに入れる。これは3つの箱を区別して考えているから，箱の区別をなくすために $3!$ で割る。
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{6}{2}\times\nCk{4}{2}}{3!}=\dfrac{15\times6}{6}=15~通り
\end{align*}
\dfrac{\nCk{6}{2}\times\nCk{4}{2}}{3!}=\dfrac{15\times6}{6}=15~通り
\end{align*}
ヒロ
ということで，以上を加えて，$15+60+15=90$ 通り。
ヒロ
1つずつ具体的に数えると大変なので，一気に計算する方法も身に付けよう。
【(7)の別解】
(6)と(7)の違いは箱を区別するかしないかであり，(7)では箱を区別しないから，(6)の数え方で箱の区別をなくして
(6)と(7)の違いは箱を区別するかしないかであり，(7)では箱を区別しないから，(6)の数え方で箱の区別をなくして
\begin{align*}
\dfrac{540}{3!}=90~通り
\end{align*}
\dfrac{540}{3!}=90~通り
\end{align*}