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2017年 センター試験 数学ⅡB 第3問 数列

2017年 センター数学ⅡB 数列数学IAIIB
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2017年センター試験 数学ⅡB 第3問数列の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年 センターⅡB 数列以下において考察する数列の項は,すべて実数であるとする。
(1) 等比数列 $\{s_n\}$ の初項が1,公比が2であるとき
\begin{align*}
s_1s_2s_3=\myBox{ア},~s_1+s_2+s_3=\myBox{イ}
\end{align*}
である。
(2) $\{s_n\}$ を初項 $x$,公比 $r$ の等比数列とする。$a,~b$ を実数(ただし $a\neq0$)とし,$\{s_n\}$ の最初の3項が
\begin{align*}
&s_1s_2s_3=a^3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&s_1+s_2+s_3=b~\cdots\cdots②
\end{align*}
を満たすとする。このとき
\begin{align*}
xr=\myBox{ウ}~\cdots\cdots③
\end{align*}
である。さらに,②,③を用いて $r,~a,~b$ の満たす関係式を求めると
\begin{align*}
\myBox{エ}~r^2+\left(\myBox{オ}-\myBox{カ}\right)r+\myBox{キ}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}
を得る。④を満たす実数 $r$ が存在するので
\begin{align*}
\myBox{ク}~a^2+\myBox{ケ}~ab-b^2\leqq0~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
である。
 逆に,$a,~b$ が⑤を満たすとき,③,④を用いて $r,~x$ の値を求めることができる。
(3) $a=64,~b=336$ のとき,(2)の条件①,②を満たし,公比が1より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③,④を用いて $\{s_n\}$ の公比 $r$ と初項 $x$ を求めると,$r=\myBox{コ}$,$x=\myBox{サシ}$ である。
 $\{s_n\}$ を用いて,数列 $\{t_n\}$ を
\begin{align*}
t_n=s_n\log_{\mybox{コ}}s_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
と定める。このとき,$\{t_n\}$ の一般項は
\begin{align*}
t_n=\left(n+\myBox{ス}\right)\Cdota\mybox{コ}^{~n+\myBox{セ}}
\end{align*}
である。$\{t_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $U_n$ は,$U_n-\mybox{コ}~U_n$ を計算することにより
\begin{align*}
U_n=\dfrac{\myBox{ソ}~n+\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\Cdot\mybox{コ}^{~n+\myBox{ツ}}-\dfrac{\myBox{テト}}{\myBox{ナ}}
\end{align*}
であることがわかる。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

等比数列の初項と公比が与えられているから簡単な計算問題だね。

【アイの解答】
\begin{align*}
s_1s_2s_3&=1\times2\times2^2 \\[4pt]
&=8 \\[4pt]
s_1+s_2+s_3&=1+2+2^2 \\[4pt]
&=7
\end{align*}

(2)の解答

(2) $\{s_n\}$ を初項 $x$,公比 $r$ の等比数列とする。$a,~b$ を実数(ただし $a\neq0$)とし,$\{s_n\}$ の最初の3項が

\begin{align*}
&s_1s_2s_3=a^3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&s_1+s_2+s_3=b~\cdots\cdots②
\end{align*}
を満たすとする。このとき
\begin{align*}
xr=\myBox{ウ}~\cdots\cdots③
\end{align*}
である。さらに,②,③を用いて $r,~a,~b$ の満たす関係式を求めると
\begin{align*}
\myBox{エ}~r^2+\left(\myBox{オ}-\myBox{カ}\right)r+\myBox{キ}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}
を得る。④を満たす実数 $r$ が存在するので
\begin{align*}
\myBox{ク}~a^2+\myBox{ケ}~ab-b^2\leqq0~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
である。
 逆に,$a,~b$ が⑤を満たすとき,③,④を用いて $r,~x$ の値を求めることができる。

ヒロ
ヒロ

与えられた条件を使って求めていこう。とりあえず①を変形してみよう。

【ウの解答】
①より
\begin{align*}
&x\times xr\times xr^2=a^3 \\[4pt]
&(xr)^3=a^3
\end{align*}
$xr$ は実数だから,$xr=a$
ヒロ
ヒロ

次は②,③を利用して,$r,~a,~b$ の関係式を求めよう。

【エ~キの解答】
②より
\begin{align*}
x+xr+xr^2=b
\end{align*}
両辺に $r$ を掛けて,③を利用すると
\begin{align*}
&xr+xr^2+xr^3=br \\[4pt]
&a+ar+ar^2=br \\[4pt]
&ar^2+(a-b)r+a=0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

今求めた方程式を満たす $r$ が存在することから不等式を求める問題だね。

ヒロ
ヒロ

つまり,2次方程式が実数解をもつ条件を考えればいいから,判別式が0以上になればいいね。

ヒロ
ヒロ

たまに,この時点で,「0以上」なのに問題文に書かれている不等号では「0以下」になってるから間違ってると判断して計算しない人がいる。

ヒロ
ヒロ

これは相当勿体ない。移項すれば不等式の不等号の向きなんていくらでも変えることができるんだから,計算する前からアレコレ考えるのは辞めて欲しい。悩んでいる時間が本当に無駄なので,さっさと計算しよう。

【クケの解答】
判別式が0以上になるときを考えて
\begin{align*}
&(a-b)^2-4a^2\geqq0 \\[4pt]
&3a^2+2ab-b^2\leqq0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(2)の最後に「逆に・・・」と書かれているけど,時間に余裕がない人は「本当に $r,~x$ を求めることができるのか?」なんて気にする必要はない。「求めることができる」と書かれているのだから,$r,~x$ を求めるときには,これを利用すれば良いんだなと思って,(3)に進もう。

(3)の解答

(3) $a=64,~b=336$ のとき,(2)の条件①,②を満たし,公比が1より大きい等比数列 $\{s_n\}$ を考える。③,④を用いて $\{s_n\}$ の公比 $r$ と初項 $x$ を求めると,$r=\myBox{コ}$,$x=\myBox{サシ}$ である。
 $\{s_n\}$ を用いて,数列 $\{t_n\}$ を

\begin{align*}
t_n=s_n\log_{\mybox{コ}}s_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
と定める。このとき,$\{t_n\}$ の一般項は
\begin{align*}
t_n=\left(n+\myBox{ス}\right)\Cdota\mybox{コ}^{~n+\myBox{セ}}
\end{align*}
である。$\{t_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $U_n$ は,$U_n-\mybox{コ}~U_n$ を計算することにより
\begin{align*}
U_n=\dfrac{\myBox{ソ}~n+\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\Cdot\mybox{コ}^{~n+\myBox{ツ}}-\dfrac{\myBox{テト}}{\myBox{ナ}}
\end{align*}
であることがわかる。

ヒロ
ヒロ

与えられている $a,~b$ の値を④に代入しよう。

【コ~シの解答】
$a=64,~b=336$ を④に代入すると
\begin{align*}
&64r^2+(64-336)r+64=0 \\[4pt]
&64r^2-272r+64=0 \\[4pt]
&4r^2-17r+4=0 \\[4pt]
&(r-4)(4r-1)=0 \\[4pt]
&r=4,~\dfrac{1}{4}
\end{align*}
$r>1$ より,$r=4$ であり,このとき③より
\begin{align*}
&4x=64 \\[4pt]
&x=16
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$s_n$ を求めて,$t_n$ を求めよう。

【スセの解答】
数列 $\{s_n\}$ は初項16,公比4の等比数列だから
\begin{align*}
s_n&=16\Cdota4^{n-1} \\[4pt]
&=4^{n+1}
\end{align*}
よって
\begin{align*}
t_n&=s_n\log_4s_n \\[4pt]
&=4^{n+1}\log_44^{n+1} \\[4pt]
&=(n+1)\Cdota4^{n+1}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は,等差数列と等比数列の積の和を求める方法を思い出そう。分かっている人にとっては,問題文で丁寧に誘導されているなぁと感じるはず。

【ソ~ナの解答】
$\{t_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $U_n$ だから
\begin{align*}
U_n&=2\Cdota4^2+3\Cdota4^3+\cdots+(n+1)\Cdota4^{n+1}
\end{align*}
両辺を4倍して $4U_n$ を求めると次のようになる。
\begin{align*}
4U_n&=2\Cdota4^3+3\Cdota4^4+\cdots+n\Cdota4^{n+1}+(n+1)\Cdota4^{n+2}
\end{align*}
辺々を引くと
\begin{align*}
U_n-4U_n&=2\Cdota4^2+4^3+4^4+\cdots+4^{n+1}-(n+1)\Cdota4^{n+2} \\[4pt]
&=32+\dfrac{4^3(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n+1)\Cdota4^{n+2}
\end{align*}
両辺を $-3$ で割ると
\begin{align*}
U_n&=-\dfrac{32}{3}-\dfrac{4^{n+2}-64}{9}+\dfrac{(n+1)\Cdot4^{n+2}}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{3(n+1)\Cdot4^{n+2}-4^{n+2}}{9}+\dfrac{64}{9}-\dfrac{32}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{3n+2}{9}\Cdota4^{n+2}-\dfrac{32}{9}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後までしっかり解ききるために,指数法則・対数法則についても,しっかりと理解しておこう。

2017年 センターⅡB 数列を解いた感想

ヒロ
ヒロ

考えた式の形と空欄の形が少し違う場合に,自分の考えが間違っていると思ってしまって,実際に計算することなく諦める人がいるが,これは辞めた方が良い。

ヒロ
ヒロ

後半は $(等差)\times(等比)$ の和を求められるようにしておこう。そのためには,等比数列の和の求め方を知っておくことが重要である。

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