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(4)の解答
6個のボールを3つの箱に分ける方法について考える。次の分け方は何通りあるか。
(4) ボールを区別せず，箱を区別して，箱には少なくとも1個ボールを入れる。
ヒロ
(2)で考えた3つの分け方それぞれに対して，箱に区別を考えれば，全部で何通りあるかを数えることができる。
(3)と同様に考える。
(4,1,1)のとき，3通り。
(3,2,1)のとき，$3!=6$ 通り。
(2,2,2)のとき，1通り。
これらを加えて
(4,1,1)のとき，3通り。
(3,2,1)のとき，$3!=6$ 通り。
(2,2,2)のとき，1通り。
これらを加えて
\begin{align*}
3+6+1=10~通り
\end{align*}
3+6+1=10~通り
\end{align*}
ヒロ
また，次のように考えることで，(3)と同様に一気に求めることもできる。
【(4)の別解】
6個のボール○○○○○○の両端には仕切りを入れず，○と〇の間の5か所から2か所を選んで仕切りを入れれば，空箱がない状態になるから，
6個のボール○○○○○○の両端には仕切りを入れず，○と〇の間の5か所から2か所を選んで仕切りを入れれば，空箱がない状態になるから，
\begin{align*}
\nCk{5}{2}=10~通り
\end{align*}
\nCk{5}{2}=10~通り
\end{align*}
(5)の解答
6個のボールを3つの箱に分ける方法について考える。次の分け方は何通りあるか。
(5) ボールも箱も区別して，空箱があってもよい。
ヒロ
6個のボールを区別するから，①～⑥の番号を付けて，3つの箱を区別するから，A, B, Cと名前を付けて考えよう。
1個ずつ順番に箱に入れていくと，①のボールを箱に入れるとき，A, B, Cの3通りの入れ方がある。②～⑥のボールも同様に，それぞれ3通りの入れ方がある。
もし，6個のボールをすべてAに入れて，BとCが空箱になっても，空箱があることが許されているから大丈夫。よって，
もし，6個のボールをすべてAに入れて，BとCが空箱になっても，空箱があることが許されているから大丈夫。よって，
\begin{align*}
3^6=729~通り
\end{align*}
3^6=729~通り
\end{align*}