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マーク模試過去問 数学IA 図形【正弦の値を利用した描画】

マーク模試 数学IA 三角比 平面図形数学IAIIB
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図形の性質の考え方・解き方の第五弾です。第四弾に引き続き,三角比の値が与えられたときの描画について説明します。

三角比の値が与えられたときの図を描く方法を身に付けることで,出題者が最初に描いた図を描くことができる場合があります。

センター試験の数学IAの図形問題の考え方を説明します。

マーク模試 数学IA 過去問三角形ABCにおいて
\begin{align*}
\mathrm{BC}=7,~\kaku{BAC}=60\Deg,~\sin\kaku{BCA}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}
\end{align*}
とする。
三角形ABCの外接円の半径を $R$ とすると
\begin{align*}
R=\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}\sqrt{\myBox{ウ}}
\end{align*}
であり
\begin{align*}
\mathrm{AB}=\myBox{エ}
\end{align*}
である。
また,$\mathrm{AC}=x$ とおくと
\begin{align*}
\mathrm{BC}^2=x^2-8x+\myBox{オカ}
\end{align*}
を満たすから
\begin{align*}
x=\myBox{キ}~~または~x=\myBox{ク}
\end{align*}
である。ただし,$\mybox{キ}<\mybox{ク}$ とする。
以下,$\mathrm{AC}=\mybox{ク}$ とする。
三角形ABCの面積を $S$,$\kaku{BAC}$ の二等分線と辺BCとの交点をDとすると
\begin{align*}
S=\myBox{ケコ}\sqrt{\myBox{サ}},~\mathrm{AD}=\dfrac{\myBox{シス}}{\myBox{セソ}}\sqrt{\myBox{タ}}
\end{align*}
である。
三角形ABCの内接円の中心をI,半径を $r$ とすると
\begin{align*}
r=\sqrt{\myBox{チ}}
\end{align*}
であり,この内接円と辺ABとの接点をHとすると
\begin{align*}
\mathrm{AH}=\myBox{ツ}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\mathrm{BI}=\myBox{テ}\sqrt{\myBox{ト}}
\end{align*}
である。
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正弦の値を利用して図を描く方法

ヒロ
ヒロ

今回は $\sin C$ が与えられているので,その値を利用して図を描こう。$\sin$ の値のときは $\cos$ の値が与えられているときと違って,2種類存在することに注意しよう。

ヒロ
ヒロ

$\sin C=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}$ だから,斜辺が7,高さが $4\sqrt{3}$ の直角三角形を描く。$\kaku{ACB}$ が鋭角のときと鈍角のときの両方を描いておこう。
マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 マーク模試 数学IA 三角比 平面図形

ヒロ
ヒロ

$\mathrm{BC}=7$ が与えられていて,斜辺の比の $\fbox{7}$ と一致しているから斜辺をBCとしよう。さらに三平方の定理から $\mathrm{CH}=1$ と分かる。
マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 マーク模試 数学IA 三角比 平面図形

ヒロ
ヒロ

次に $\kaku{BAC}$ が $60\Deg$ となるように点Aをとる。この際に $\mathrm{AH}=4$ であることを考えて適切な位置にとる。
マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 マーク模試 数学IA 三角比 平面図形

ヒロ
ヒロ

$\sankaku{ABH}$ は $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形だから,$\mathrm{AB}=8$ となることも分かるから,これも書き込もう。
マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 マーク模試 数学IA 三角比 平面図形

前半の解答【外接円の半径と名古屋三角形】

ヒロ
ヒロ

最初は外接円の半径を求める問題。

正弦定理ですね。

$\sankaku{ABC}$ において正弦定理を適用すると
\begin{align*}
R&=\dfrac{\mathrm{BC}}{2\sin A} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{2\sin60\Deg} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{\sqrt{3}}=\dfrac{7}{3}\sqrt{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次はABの長さを求める問題だけど,もう $\mathrm{AB}=8$ と分かっている。

ヒロ
ヒロ

次はACの長さを求める問題。2次方程式を立てる誘導になっている。このように2次方程式を立てる場合,余弦定理を使おう。

ヒロ
ヒロ

ただ,今回の問題では,$\myBox{オカ}$ が分からなくても,$\myBox{キ}$ と $\myBox{ク}$ は分かるね。

図を見れば名古屋三角形と悩み三角形と分かるから,ACは3か5ですね。
マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 マーク模試 数学IA 三角比 平面図形

ヒロ
ヒロ

ただ,これくらいの問題なら余弦定理だなと気付いて欲しい。

$\sankaku{ABC}$ において,余弦定理を適用すると
\begin{align*}
\mathrm{BC}^2&=x^2+8^2-2\Cdota8x\cos60\Deg \\[4pt]
&=x^2-8x+64
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これで $\myBox{オカ}$ が求まった。これを解けば $x$ を求められる。

$\mathrm{BC}=7$ より
\begin{align*}
&7^2=x^2-8x+64 \\[4pt]
&x^2-8x+15=0 \\[4pt]
&(x-3)(x-5)=0 \\[4pt]
&x=3,~5
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

それでは後半へ進もう。

【マーク模試 過去問(後半)】
以下,$\mathrm{AC}=\mybox{ク}$ とする。
三角形ABCの面積を $S$,$\kaku{BAC}$ の二等分線と辺BCとの交点をDとすると

\begin{align*}
S=\myBox{ケコ}\sqrt{\myBox{サ}},~\mathrm{AD}=\dfrac{\myBox{シス}}{\myBox{セソ}}\sqrt{\myBox{タ}}
\end{align*}
である。
三角形ABCの内接円の中心をI,半径を $r$ とすると
\begin{align*}
r=\sqrt{\myBox{チ}}
\end{align*}
であり,この内接円と辺ABとの接点をHとすると
\begin{align*}
\mathrm{AH}=\myBox{ツ}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\mathrm{BI}=\myBox{テ}\sqrt{\myBox{ト}}
\end{align*}
である。

後半の解答【角の二等分線の長さと内接円の半径】

ヒロ
ヒロ

問題文に「$\mathrm{AC}=8$ とする」とあるから,名古屋三角形で考える。三角形ABCの面積は底辺も高さも分かっているから簡単だね。
マーク模試 数学IA 三角比 平面図形

$\sankaku{ABC}$ の面積 $S$ は
\begin{align*}
S&=\dfrac{1}{2}\Cdota5\Cdota4\sqrt{3} \\[4pt]
&=10\sqrt{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は角の二等分線の長さADを求める問題。$\kaku{BAC}=60\Deg$ だから $30\Deg$ ずつになる。
マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 角の二等分線

ヒロ
ヒロ

角の二等分線の長さを求める1つの方法として,三角形の面積を利用する方法がある。

角の二等分線の長さ

角の二等分線
$\sankaku{ABD}+\sankaku{ACD}=\sankaku{ABC}$ より

\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}a\Cdota\mathrm{AD}\sin\theta+\dfrac{1}{2}b\Cdota\mathrm{AD}\sin\theta=\dfrac{1}{2}ab\sin2\theta \\[4pt]
&(a+b)\mathrm{AD}\sin\theta=2ab\sin\theta\cos\theta
\end{align*}
$a+b\neq0,~\sin\theta\neq0$ であるから
\begin{align*}
\mathrm{AD}=\dfrac{2ab\cos\theta}{a+b}
\end{align*}

ヒロ
ヒロ

今回の問題の場合,次のようになる。

$\sankaku{ABD}+\sankaku{ACD}=\sankaku{ABC}$ より
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}\Cdota8\Cdota\mathrm{AD}\sin30\Deg+\dfrac{1}{2}\Cdota5\Cdota\mathrm{AD}\sin30\Deg=\dfrac{1}{2}\Cdota8\Cdota5\sin60\Deg \\[4pt]
&13\mathrm{AD}=40\sqrt{3} \\[4pt]
&\mathrm{AD}=\dfrac{40}{13}\sqrt{3}
\end{align*}

マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 角の二等分線
ヒロ
ヒロ

次は内接円の半径を求める問題。これも三角形の面積を利用しよう。

三角形の面積と内接円の半径

三角形の内接円
$\sankaku{ABC}$ の面積を $S$ とし,$\sankaku{ABC}$ の内接円の半径を $r$ とするとき,

\begin{align*}
&{\color{blue}\sankaku{IBC}}+{\color{green}\sankaku{ICA}}+{\color{red}\sankaku{IAB}}=\sankaku{ABC} \\[4pt]
&\dfrac{1}{2}ar+\dfrac{1}{2}br+\dfrac{1}{2}cr=S \\[4pt]
&\dfrac{1}{2}(a+b+c)r=S \\[4pt]
&r=\dfrac{2S}{a+b+c}
\end{align*}

ヒロ
ヒロ

この結果を覚えてしまっている人もいる。

$S=10\sqrt{3}$ より
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}(5+7+8)r=10\sqrt{3} \\[4pt]
&r=\sqrt{3}
\end{align*}

マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 内接円
ヒロ
ヒロ

次はAHの長さを求めよう。直前にIHの長さも求めているから,$\sankaku{AHI}$ に着目しよう。今回は $\kaku{IAB}=30\Deg$ と分かっているから,すぐ求められるね。

$\sankaku{AHI}$ は $1:2:\sqrt{3}$ の直角三角形だから
\begin{align*}
\mathrm{AH}=\sqrt{3}\,\mathrm{IH}=3
\end{align*}

マーク模試 数学IA 三角比 平面図形 内接円
ヒロ
ヒロ

次のポイントも覚えておこう。

内接円と接線の長さ

$\sankaku{ABC}$ の内接円と3辺AB, BC, CAとの接点をそれぞれP, Q, Rとする。
三角形の内接円

ここで,$\mathrm{AP=AR},~$$\mathrm{BP=BQ},~$$\mathrm{CQ=CR}$ であるから

\begin{align*}
&\mathrm{AP=AR}=\dfrac{b+c-a}{2} \\
&\mathrm{BP=BQ}=\dfrac{c+a-b}{2} \\
&\mathrm{CQ=CR}=\dfrac{a+b-c}{2}
\end{align*}

ヒロ
ヒロ

僕はこれをもう覚えてしまっているけど,導出できるなら別に覚えなくても良い。

【AHのもう1つの求め方】
AHは $\kaku{BAC}$ をはさむ接線の長さだから
\begin{align*}
\mathrm{AH}=\dfrac{5+8-7}{2}=3
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後のBIの長さを求めよう。IHの長さが分かっているから $\sankaku{BHI}$ に着目しよう。

$\mathrm{BH}=\mathrm{AB}-\mathrm{AH}$ より
\begin{align*}
\mathrm{BH}=8-3=5
\end{align*}
$\sankaku{BHI}$ において,三平方の定理より
\begin{align*}
\mathrm{BI}&=\sqrt{(\sqrt{3})^2+5^2} \\[4pt]
&=\sqrt{28} \\[4pt]
&=2\sqrt{7}
\end{align*}

マーク模試 数学IA 三角比 平面図形

まとめ

ヒロ
ヒロ

$\sin$ の値を利用して図を描くときは,鋭角と鈍角の2種類あることに注意しよう。ほとんどの場合,追加条件によって一方に定まるか,一方を指定されて問題が出題されるかである。

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