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(6)の解答
6個のボールを3つの箱に分ける方法について考える。次の分け方は何通りあるか。
(6) ボールも箱も区別して，箱には少なくとも1個ボールを入れる。
ヒロ
(5)の入れ方から空箱になる入れ方を除けば良い。
(5)の729通りから，箱を3つ使っていない場合を除く。
【箱を1つしか使っていない場合】
6個のボールをすべてAに入れたとき
6個のボールをすべてBに入れたとき
6個のボールをすべてCに入れたとき
の3通り
【箱を2つしか使っていない場合】
例えばAとBの2つの箱しか使っていない場合を考える，
①の入れ方はAに入れるかBに入れるかの2通りがあり，②～⑥についても同じでそれぞれ2通りの入れ方があるから全部で，
他に，BとCの2つの箱しか使っていない場合とAとCの2つの箱しか使っていない場合があるから，箱を2つしか使っていない場合は全部で
【箱を1つしか使っていない場合】
6個のボールをすべてAに入れたとき
6個のボールをすべてBに入れたとき
6個のボールをすべてCに入れたとき
の3通り
【箱を2つしか使っていない場合】
例えばAとBの2つの箱しか使っていない場合を考える，
①の入れ方はAに入れるかBに入れるかの2通りがあり，②～⑥についても同じでそれぞれ2通りの入れ方があるから全部で，
\begin{align*}
2^6=64 通り
\end{align*}
となる。しかし，この中には6個のボールすべてをAに入れた場合とBに入れた場合の2通りが含まれているので，これらを除いて，2^6=64 通り
\end{align*}
\begin{align*}
64-2=62 通り
\end{align*}
となる。64-2=62 通り
\end{align*}
他に，BとCの2つの箱しか使っていない場合とAとCの2つの箱しか使っていない場合があるから，箱を2つしか使っていない場合は全部で
\begin{align*}
3\times62=186~通り
\end{align*}
よって，これらを除いて3\times62=186~通り
\end{align*}
\begin{align*}
729-(3+186)=540 通り
\end{align*}
となる。729-(3+186)=540 通り
\end{align*}