6個のボールを3つの箱に入れる問題

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(3)の解答

6個のボールを3つの箱に分ける方法について考える。次の分け方は何通りあるか。
(3) ボールを区別せず，箱を区別して，空箱があってもよい。

ヒロ

ボールに区別がなく，箱に区別があるときは，3つの箱にA, B, Cと名前を付けて考えよう。(1)で考えた7つの分け方それぞれに対して，箱に区別を考えれば，全部で何通りあるかを数えることができる。

ヒロ

3つの箱A, B, Cに入っているボールの個数が$a$ 個，$b$ 個，$c$ 個のとき，$(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=(a,~b,~c)$ と表すことにする。

ヒロ

まず，ボールの個数がすべて異なるときから考える。

【(5,1,0), (4,2,0), (3,2,1)のとき】
例えば(5,1,0)のときは

\begin{align*}
(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=&(5,1,0),~(5,0,1),~ \\[4pt]
&(1,5,0),~(1,0,5),~ \\[4pt]
&(0,5,1),~(0,1,5)
\end{align*}

の6通りがある。
これは3つの数字5, 1, 0を並べて左から順に3つの箱A, B, Cに入れると考えることができるから，$3!=6$ と求めることもできる。よって，(4,2,0), (3,2,1)のときも考えて，全部で

\begin{align*}
3!\times3=18~通り
\end{align*}

ヒロ

次に，2つの箱に入れるボールの個数が等しいときを考える。

【(6,0,0), (4,1,1), (3,3,0)のとき】
(6,0,0)のときは

\begin{align*}
(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=(6,0,0),~(0,6,0),~(0,0,6)
\end{align*}

の3通りがある。
これは結局6個のボールすべてを1つの箱に入れるだけだから，AかBかCのどれに入れるのかを考えることになり，具体的に書かなくても3通りだと分かる。同様に，(4,1,1), (3,3,0)のときも考えると，全部で

\begin{align*}
3\times3=9~通り
\end{align*}

ヒロ

最後に3つの箱に入れるボールの個数が等しいときを考える。

【(2,2,2)のとき】
ボールに区別がないため，箱が区別されていても

\begin{align*}
(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=(2,2,2)
\end{align*}

の1通りしかない。

ヒロ

以上をすべて加えて，$18+9+1=28$ 通り。

ヒロ

このように1つずつ考えることで数え上げることができるが，これを一気に計算する方法があるので覚えておこう。

【(3)の別解】
6個のボールを○○○○○○として，これを2本の仕切り｜で分けることを考える。
例えば，○○○｜○○｜○ のときは，$(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=(3,2,1)$ になると考える。
また，○○○○｜｜○○ のときは，$(\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C})=(4,0,2)$ になると考える。
6個の〇と2本の｜の1つの並べ方に対して，区別できない6個のボールを3つの箱A, B, Cに入れる1つの方法に対応させることができるため，6個の〇と2本の｜の並べ方の総数が求める場合の数となる。よって，

\begin{align*}
\dfrac{8!}{6!\Cdot2!}=28~通り
\end{align*}

ヒロ

また，次のようにして求めることもできる。

これは6個の〇と2本の｜を並べる場所を8か所用意しておいて，その8か所のうち，2か所に｜を入れて，残りの6か所には○を入れると考えると，結局8か所から｜を入れる2か所を選べば良いから

\begin{align*}
\nCk{8}{2}=28~通り
\end{align*}