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【数学ⅡB】指数と累乗根の性質に関する問題【尾道市立大・京都教育大・横浜市立大】

指数と累乗根の性質数学IAIIB
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ここでは,指数と累乗根の性質に関する問題について説明します。

大学入試では様々な問題が出題されますが,普段当たり前のように使っている性質であっても,いざ「その性質が成り立つことを証明せよ」と言われると困るかもしれません。

「たった1問」と言いたくなりますが,入試で差がつくのは,難問ではなく比較的簡単な問題である場合が多いです。

基礎~標準レベルの問題を解けるようにすることが大切です。

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2020年 尾道市立大

2020年 尾道市立大次の問いに答えなさい。ただし,(1)~(4)は答えのみを書きなさい。
(1) 16の平方根を答えなさい。
(2) $\sqrt{16}$ を整数で答えなさい。
(3) $a>0$ とする。$a$ の平方根のうち正であるものを,根号を用いて表しなさい。
(4) $b<=0$ のとき,$\sqrt{b^2}$ を根号,指数表記,絶対値記号を用いない形で表しなさい。 (5) $x>0,~y>0$ とする。平方根の定義にもとづいて $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ が成り立つことを証明しなさい。
ヒロ
ヒロ

(1)~(4)については,速答できるようにしよう。

【(1)~(4)の考え方と解答】
(1) 2乗すると16になる数は,正と負の2つあることに注意しよう。答えは $\pm4$ である。
(2) $\sqrt{16}$ は16の平方根のうち正の数であるから,$\sqrt{16}=4$
(3) $a$ の平方根のうち正であるものは,$\sqrt{a}$ である。
(4) 符号に注意しよう。
\begin{align*}
\sqrt{b^2}=\abs{b}=-b
\end{align*}

(5) $x>0,~y>0$ とする。平方根の定義にもとづいて $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ が成り立つことを証明しなさい。

【(5)の考え方と解答】
平方根の定義より $\sqrt{x}=a,~\sqrt{y}=b,~\sqrt{xy}=c$ とおくと
\begin{align*}
&a^2=x ~\cdots\cdots① \\[4pt]&b^2=y ~\cdots\cdots② \\[4pt]&c^2=xy ~\cdots\cdots③
\end{align*}
が成り立つ。$①\times②=③$ より
\begin{align*}
&a^2b^2=c^2 \\[4pt]&(ab+c)(ab-c)=0
\end{align*}
$ab+c>0$ であるから
\begin{align*}
&ab-c=0 \\[4pt]&\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}
\end{align*}

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