成績を上げるためには自宅学習!

数学の解説動画の作成開始しました。
チャンネル登録お願いいたします。

動画ページへ

【数学ⅡB】3次方程式の解と係数の関係の応用【昭和大・東京電機大・青山学院大・星薬科大】

3次方程式の解と係数の関係と対称式数学IAIIB
新形態のオンライン学習塾!
スポンサーリンク

3次方程式の解と係数の関係の応用問題【昭和大】

2019年 昭和大2つの3次関数
\begin{align*}
f(x)=x^3+3x^2-1,~g(x)=x^3+ax^2+bx+c
\end{align*}
がある。方程式 $f(x)=0$ の解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とするとき,方程式 $g(x)=0$ の解は $\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2$ である。$a,~b,~c$ の値をそれぞれ求めよ。

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

【考え方と解答】
3次方程式の解と係数には関係があるのだから,「解と係数の関係」を利用しよう。
\begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma=-3~\cdots\cdots① \\[4pt]
&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0~\cdots\cdots② \\[4pt]
&\alpha\beta\gamma=1~\cdots\cdots③
\end{align*}
①,②より
\begin{align*}
&\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \\[4pt]
&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\[4pt]
&=(-3)^2-2\Cdota0=9
\end{align*}
①,②,③より
\begin{align*}
&\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 \\[4pt]
&=(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) \\[4pt]
&=0^2-2\Cdota1\Cdota(-3)=6
\end{align*}
③より
\begin{align*}
\alpha^2\beta^2\gamma^2=(\alpha\beta\gamma)^2=1^2=1
\end{align*}
よって,$\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2$ を3解にもつ $x^3$ の係数が1の方程式は
\begin{align*}
x^3-9x^2+6x-1=0
\end{align*}
したがって,$a=-9,~b=6,~c=-1$
ヒロ
ヒロ

工夫することによって,対称式の面倒な計算から解放される。

ヒロ
ヒロ

まぁ,その工夫が面倒と言われればおしまいであるが,別解として紹介しておく。

【解の2乗が解】
3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とする。次数が偶数の項と奇数の項に分けて次のように変形する。
\begin{align*}
ax^3+cx=-bx^2-d
\end{align*}
両辺を2乗すると
\begin{align*}
&a^2x^6+2acx^4+c^2x^2=b^2x^4+2bdx^2+d^2 \\[4pt]
&a^2x^6+(2ac-b^2)x^4+(c^2-2bd)x^2-d^2=0
\end{align*}
ここで $x^2=t$ とおくと
\begin{align*}
a^2t^3+(2ac-b^2)t^2+(c^2-2bd)t-d^2=0
\end{align*}
となり,この $t$ の3次方程式の3つの解は $\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2$ である。つまり,$t$ を $x$ に置き直すことで,$\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2$ を3つの解にもつ3次方程式の1つは
\begin{align*}
a^2x^3+(2ac-b^2)x^2+(c^2-2bd)x-d^2=0
\end{align*}
となる。
ヒロ
ヒロ

このように次数が偶数の項と奇数の項に分けて,うまく変形することで3つの解の2乗が解になる3次方程式を作ることができる。

ヒロ
ヒロ

今回の問題にこの考え方を適用すると,次のような解答になる。

【別解】
 $x^3+3x^2-1=0$ のとき,$x^3=-3x^2+1$ が成り立つ。両辺を2乗すると
\begin{align*}
&x^6=9x^4-6x^2+1 \\[4pt]
&x^6-9x^4+6x^2-1=0
\end{align*}
ここで $x^2=t$ とおくと
\begin{align*}
t^3-9t^2+6t-1=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。$f(x)=0$ の解が $\alpha,~\beta,~\gamma$ であるから,方程式①の3つの解は $\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2$ となる。つまり,$t$ を $x$ に置き直した3次方程式
\begin{align*}
x^3-9x^2+6x-1=0
\end{align*}
は $\alpha^2,~\beta^2,~\gamma^2$ を3解にもつ。
 よって,$a=-9,~b=6,~c=-1$

タイトルとURLをコピーしました