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3次方程式の解と係数の関係の応用問題4【星薬科大】
2009年 星薬科大3次方程式 $x^3-2x^2-5=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とするとき，$\dfrac{\beta+\gamma}{\alpha}$, $\dfrac{\gamma+\alpha}{\beta}$, $\dfrac{\alpha+\beta}{\gamma}$ を3つの解とする3次方程式 は $5x^3+\myhako\,x^2+\myhako\,x+\myhako=0$ である。
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【考え方と解答】
そろそろ読むのに疲れてきたと思うので，ひたすら計算して求めるのではなく，工夫した解法だけ説明する。
解と係数の関係より，$\alpha+\beta+\gamma=2$ が成り立つから，
そろそろ読むのに疲れてきたと思うので，ひたすら計算して求めるのではなく，工夫した解法だけ説明する。
解と係数の関係より，$\alpha+\beta+\gamma=2$ が成り立つから，
\begin{align*}
&\dfrac{\beta+\gamma}{\alpha}=\dfrac{2-\alpha}{\alpha}=\dfrac{2}{\alpha}-1 \\[4pt]
&\dfrac{\gamma+\alpha}{\beta}=\dfrac{2-\beta}{\beta}=\dfrac{2}{\beta}-1 \\[4pt]
&\dfrac{\alpha+\beta}{\gamma}=\dfrac{2-\gamma}{\gamma}=\dfrac{2}{\gamma}-1
\end{align*}
$x^3-2x^2-5=0$ において，$x=\dfrac{2}{t}$ とおくと&\dfrac{\beta+\gamma}{\alpha}=\dfrac{2-\alpha}{\alpha}=\dfrac{2}{\alpha}-1 \\[4pt]
&\dfrac{\gamma+\alpha}{\beta}=\dfrac{2-\beta}{\beta}=\dfrac{2}{\beta}-1 \\[4pt]
&\dfrac{\alpha+\beta}{\gamma}=\dfrac{2-\gamma}{\gamma}=\dfrac{2}{\gamma}-1
\end{align*}
\begin{align*}
&\left(\dfrac{2}{t}\right)^3-2\left(\dfrac{2}{t}\right)^2-5=0 \\[4pt]
&5t^3+8t-8=0
\end{align*}
この方程式の3つの解は $\dfrac{2}{\alpha}$, $\dfrac{2}{\beta}$, $\dfrac{2}{\gamma}$ である。さらに $t=x+1$ と置き換えた $x$ の方程式の3つの解は $\dfrac{2}{\alpha}-1$, $\dfrac{2}{\beta}-1$, $\dfrac{2}{\gamma}-1$ となるから，求める方程式は次のようになる。&\left(\dfrac{2}{t}\right)^3-2\left(\dfrac{2}{t}\right)^2-5=0 \\[4pt]
&5t^3+8t-8=0
\end{align*}
\begin{align*}
&5(x+1)^3+8(x+1)-8=0 \\[4pt]
&5x^3+15x^2+23x+5=0
\end{align*}
&5(x+1)^3+8(x+1)-8=0 \\[4pt]
&5x^3+15x^2+23x+5=0
\end{align*}
3次方程式の解と係数の関係の応用問題5【昭和大】
2020年 昭和大3次方程式 $x^3-x^2-x-1=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とする。$\dfrac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}$, $\dfrac{1}{(\beta-2)(\gamma-2)}$, $\dfrac{1}{(\gamma-2)(\alpha-2)}$ を解とする3次方程式を求めよ。ただし，$x^3$ の係数は1とする。
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【考え方と解答】
この問題もサクッと解いていきましょう！
$x^3-x^2-x-1=0$ において，$x=t+2$ とおくと
ここで，解と係数の関係より
この問題もサクッと解いていきましょう！
$x^3-x^2-x-1=0$ において，$x=t+2$ とおくと
\begin{align*}
&(t+2)^3-(t+2)^2-(t+2)-1=0 \\[4pt]
&t^3+5t^2+7t+1=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
となり，この $t$ の3次方程式の3つの解は $\alpha-2$, $\beta-2$, $\gamma-2$ である。&(t+2)^3-(t+2)^2-(t+2)-1=0 \\[4pt]
&t^3+5t^2+7t+1=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
ここで，解と係数の関係より
\begin{align*}
(\alpha-2)(\beta-2)(\gamma-2)=-1
\end{align*}
となるから(\alpha-2)(\beta-2)(\gamma-2)=-1
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}=2-\gamma \\[4pt]
&\dfrac{1}{(\beta-2)(\gamma-2)}=2-\alpha \\[4pt]
&\dfrac{1}{(\gamma-2)(\alpha-2)}=2-\beta
\end{align*}
したがって，①において $t=-x$ とおくと，&\dfrac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}=2-\gamma \\[4pt]
&\dfrac{1}{(\beta-2)(\gamma-2)}=2-\alpha \\[4pt]
&\dfrac{1}{(\gamma-2)(\alpha-2)}=2-\beta
\end{align*}
\begin{align*}
&(-x)^3+5(-x)^2+7(-x)+1=0 \\[4pt]
&x^3-5x^2+7x-1=0
\end{align*}
となり，この $x$ の3次方程式の3つの解は $2-\alpha$, $2-\beta$, $2-\gamma$，すなわち $\dfrac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}$, $\dfrac{1}{(\beta-2)(\gamma-2)}$, $\dfrac{1}{(\gamma-2)(\alpha-2)}$ となる。よって，求める3次方程式は&(-x)^3+5(-x)^2+7(-x)+1=0 \\[4pt]
&x^3-5x^2+7x-1=0
\end{align*}
\begin{align*}
x^3-5x^2+7x-1=0
\end{align*}
x^3-5x^2+7x-1=0
\end{align*}
ヒロ
上の解法は，1つずつ変換していく方法だけど，実際の試験では一気に置き換える方法が良いだろう。
【別解】
$x^3-x^2-x-1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$となるから，$x=2$を代入すると
$x^3-x^2-x-1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$となるから，$x=2$を代入すると
\begin{align*} &8-4-2-1=(2-\alpha)(2-\beta)(2-\gamma) \\ &(\alpha-2)(\beta-2)(\gamma-2)=-1 \\ &\dfrac{1}{(\alpha-2)(\beta-2)}=2-\gamma,\dfrac{1}{(\beta-2)(\gamma-2)}=2-\alpha, \dfrac{1}{(\gamma-2)(\alpha-2)}=2-\beta \end{align*}
$x^3-x^2-x-1=0$において，$x=2-t$とおくと， \begin{align*} &(2-t)^3-(2-t)^2-(2-t)-1=0 \\ &-t^3+5t^2-7t+1=0 \\ &t^3-5t^2+7t-1=0 \end{align*}
よって，求める方程式は$x^3-5x^2+7x-1=0$ヒロ
長い記事になってしまいましたが，ここまで読んでいただいてありがとうございます。
ヒロ
お疲れさまでした。