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3次方程式の解と係数の関係の応用問題2【東京電機大】
2020年 東京電機大3次方程式 $x^3+x^2+2x+1=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とするとき，$(\alpha-3)(\beta-3)(\gamma-3)$ の値を求めよ。
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【考え方と解答】
$(\alpha-3)(\beta-3)(\gamma-3)$ は $\alpha,~\beta,~\gamma$ について対称であるから，3文字の基本対称式の
解と係数の関係より
$(\alpha-3)(\beta-3)(\gamma-3)$ は $\alpha,~\beta,~\gamma$ について対称であるから，3文字の基本対称式の
\begin{align*}
\alpha+\beta+\gamma,~\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,~\alpha\beta\gamma
\end{align*}
で表せる。つまり，解と係数の関係を利用することで値を求めることができる。\alpha+\beta+\gamma,~\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha,~\alpha\beta\gamma
\end{align*}
解と係数の関係より
\begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma=-1~\cdots\cdots① \\[4pt]
&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=2~\cdots\cdots② \\[4pt]
&\alpha\beta\gamma=-1~\cdots\cdots③
\end{align*}
①，②，③より&\alpha+\beta+\gamma=-1~\cdots\cdots① \\[4pt]
&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=2~\cdots\cdots② \\[4pt]
&\alpha\beta\gamma=-1~\cdots\cdots③
\end{align*}
\begin{align*}
&(\alpha-3)(\beta-3)(\gamma-3) \\[4pt]
&=\alpha\beta\gamma-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+9(\alpha+\beta+\gamma)-27 \\[4pt]
&=-1-3\Cdota2+9\Cdota(-1)-27 \\[4pt]
&=-1-6-9-27=-43
\end{align*}
&(\alpha-3)(\beta-3)(\gamma-3) \\[4pt]
&=\alpha\beta\gamma-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+9(\alpha+\beta+\gamma)-27 \\[4pt]
&=-1-3\Cdota2+9\Cdota(-1)-27 \\[4pt]
&=-1-6-9-27=-43
\end{align*}
ヒロ
この問題も工夫することで，面倒な展開をする必要がなくなる。
【$(\alpha-k)(\beta-k)(\gamma-k)$ の値を求める方法】
3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とするとき
\begin{align*}
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
\end{align*}
が成り立つ。$x=k$ を代入するとax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
\end{align*}
\begin{align*}
&ak^3+bk^2+ck+d=a(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma) \\[4pt]
&(\alpha-k)(\beta-k)(\gamma-k)=-k^3-\dfrac{b}{a}k^2-\dfrac{c}{a}k-\dfrac{d}{a}
\end{align*}
&ak^3+bk^2+ck+d=a(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma) \\[4pt]
&(\alpha-k)(\beta-k)(\gamma-k)=-k^3-\dfrac{b}{a}k^2-\dfrac{c}{a}k-\dfrac{d}{a}
\end{align*}
ヒロ
この考え方を利用すると，次のような解答になる。
【別解】
与えられた条件より
与えられた条件より
\begin{align*}
x^3+x^2+2x+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
\end{align*}
が成り立つ。$x=3$ を代入するとx^3+x^2+2x+1=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
\end{align*}
\begin{align*}
&27+9+6+1=(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) \\[4pt]
&(\alpha-3)(\beta-3)(\gamma-3)=-43
\end{align*}
&27+9+6+1=(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) \\[4pt]
&(\alpha-3)(\beta-3)(\gamma-3)=-43
\end{align*}