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【数学ⅡB】3次方程式の解と係数の関係の応用【昭和大・東京電機大・青山学院大・星薬科大】

3次方程式の解と係数の関係と対称式数学IAIIB
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3次方程式の解と係数の関係の応用問題3【青山学院大】

2020年 青山学院大3次方程式
\begin{align*}
x^3-3x^2+x+2=0
\end{align*}
の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とする。
(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\myhako$
(2) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=\myhako$
(3) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=\myhako$

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

【(1)の考え方と解答】
解と係数の関係と対称式の変形を利用しよう。解と係数の関係より
\begin{align*}
&\alpha+\beta+\gamma=3 \\[4pt]&\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=1 \\[4pt]&\alpha\beta\gamma=-2
\end{align*}
これより
\begin{align*}
&\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \\[4pt]&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\[4pt]&=3^2-2\Cdota1=7
\end{align*}

(2) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=\myhako$

【(2)の考え方と解答】
入試問題で $x^3+y^3+z^3$ の形を見たら
\begin{align*}
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
\end{align*}
を利用することを考えよう。
\begin{align*}
&\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 \\[4pt]&=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma \\[4pt]&=3\Cdota(7-1)+3\Cdota(-2)=12
\end{align*}

(3) $(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=\myhako$

【(3)の考え方と解答】
実はこの問題では,3つの解のうちの1つを簡単に求めることができる。
\begin{align*}
f(x)=x^3-3x^2+x+2
\end{align*}
とおくと
\begin{align*}
f(2)=8-12+2+2=0
\end{align*}
であるから,$f(x)$ は $x-2$ を因数にもつ。よって
\begin{align*}
(x-2)(x^2-x-1)=0
\end{align*}
となる。$\alpha,~\beta,~\gamma$ のうち,どれを2とおいても一般性を失わないから,$\alpha=2$ とする。このとき $\beta,~\gamma$ は $x^2-x-1=0$ の2解であるから
\begin{align*}
\beta+\gamma=1,~\beta\gamma=-1
\end{align*}
が成り立つ。したがって
\begin{align*}
&(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) \\[4pt]&=(2+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+2) \\[4pt]&=(\beta+\gamma)\{\beta\gamma+2(\beta+\gamma)+4\} \\[4pt]&=1\Cdota(-1+2\Cdota1+4)=5
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この問題では,1つの解を簡単に求めることができたから楽に値を求めることができたが,いつもうまくいくとは限らない。

ヒロ
ヒロ

そのような問題に対しても,楽に求められるように工夫の仕方を知っておこう。

【$(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)$ の値を求める方法】
3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha,~\beta,~\gamma$ とするとき
\begin{align*}
\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}
\end{align*}
が成り立つ。$-\dfrac{b}{a}=k$ とおくと
\begin{align*}
&(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha) \\[4pt]&=(k-\gamma)(k-\alpha)(k-\beta)
\end{align*}
ここまで来れば,上で説明した「2020年 東京電機大」の問題と同じようにして,値を求めることができる。
ヒロ
ヒロ

この考え方を利用すると,次のような解答になる。

【別解】
与えられた条件より
\begin{align*}
x^3-3x^2+x+2=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)
\end{align*}
が成り立つ。$x=3$ を代入すると
\begin{align*}
&27-27+3+2=(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma) \\[4pt]&(3-\alpha)(3-\beta)(3-\gamma)=5
\end{align*}
ここで,解と係数の関係より,$\alpha+\beta+\gamma=3$ が成り立つから
\begin{align*}
&3-\alpha=\beta+\gamma \\[4pt]&3-\beta=\gamma+\alpha \\[4pt]&3-\gamma=\alpha+\beta
\end{align*}
となる。よって
\begin{align*}
(\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\gamma+\alpha)=5
\end{align*}

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