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各項に2を加えた和を含む漸化式
2007年 福井大数列 $\{a_n\}$ は,次の条件を満たしている。
(1) $a_2$ を求めよ。
(2) 漸化式 $a_{n+1}=2a_n+2$ が $n\geqq2$ で成り立つことを示せ。
(3) 一般項 $a_n$ を求めよ。
\begin{align*}
a_1=1,~a_{n+1}=\Sum{k=1}{n}(a_k+2)~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}
このとき,以下の問いに答えよ。a_1=1,~a_{n+1}=\Sum{k=1}{n}(a_k+2)~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align*}
(1) $a_2$ を求めよ。
(2) 漸化式 $a_{n+1}=2a_n+2$ が $n\geqq2$ で成り立つことを示せ。
(3) 一般項 $a_n$ を求めよ。
ヒロ
(1)は $n=1$ を代入して求めよう。
【(1)の解答】
与えられた漸化式に $n=1$ を代入して
与えられた漸化式に $n=1$ を代入して
\begin{align*}
a_2&=a_1+2 \\[4pt]
&=a_1+2 \\[4pt]
&=3
\end{align*}
a_2&=a_1+2 \\[4pt]
&=a_1+2 \\[4pt]
&=3
\end{align*}
ヒロ
(2)はシグマの中身に惑われされず,$n$ を1つ減らして差をとろう。1つ減らす理由は示す漸化式に $a_{n+2}$ がないこと $n\geqq2$ になっているから。
【(2)の解答】
$n\geqq1$ のとき
$n\geqq1$ のとき
\begin{align*}
a_{n+1}=\Sum{k=1}{n}(a_k+2)~\cdots\cdots ①
\end{align*}
が成り立つから,$n\geqq2$ のときa_{n+1}=\Sum{k=1}{n}(a_k+2)~\cdots\cdots ①
\end{align*}
\begin{align*}
a_n=\Sum{k=1}{n-1}(a_k+2)~\cdots\cdots ②
\end{align*}
が成り立つ。$①-②$ よりa_n=\Sum{k=1}{n-1}(a_k+2)~\cdots\cdots ②
\end{align*}
\begin{align*}
&a_{n+1}-a_n=a_n+2 \\[4pt]
&a_{n+1}=2a_n+2
\end{align*}
&a_{n+1}-a_n=a_n+2 \\[4pt]
&a_{n+1}=2a_n+2
\end{align*}
ヒロ
これでパターン2になったね。特性方程式を解いて,一般項を求めよう。
特性方程式は $x=2x+2$ となるから,$x=-2$
【(3)の解答】
(2)の結果より,$n\geqq2$ のとき
(2)の結果より,$n\geqq2$ のとき
\begin{align*}
&a_{n+1}+2=2(a_n+2)
\end{align*}
となり,数列 $\{a_n+2\}$ は公比2の等比数列であるから&a_{n+1}+2=2(a_n+2)
\end{align*}
\begin{align*}
&a_n+2=(a_2+2)\Cdota2^{n-2} \\[4pt]
&a_n=5\Cdota2^{n-2}-2
\end{align*}
以上より&a_n+2=(a_2+2)\Cdota2^{n-2} \\[4pt]
&a_n=5\Cdota2^{n-2}-2
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
a_1=1 \\[4pt]
a_n=5\Cdot2^{n-2}-2~(n\geqq2)
\end{cases}
\end{align*}
\begin{cases}
a_1=1 \\[4pt]
a_n=5\Cdot2^{n-2}-2~(n\geqq2)
\end{cases}
\end{align*}
ヒロ
漸化式を解いて求めた $a_n$ の式は $n=1$ のときに成り立たないから,$n=1$ のときと $n\geqq2$ のときで分けて書かないといけない点に注意しよう。
ヒロ
このように,和を含む漸化式では $n=1$ のときだけ別扱いになる場合があることを知っておこう。