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2乗の和を含む漸化式
ヒロ
それでは次の問題をやってみよう。
2017年 愛知工業大数列 $\{a_n\}$ はすべての自然数 $n$ について，$a_n>0,~$$\Sum{k=1}{n}(2{a_k}^2+1)=6n^3-3n^2$ をみたすとする。このとき，$a_n=\myhako,~$$\Sum{k=1}{n}(2a_k+1)=\myhako$ である。
ヒロ
この問題では，初項から第 $n$ 項をそれぞれ2乗した和が含まれている。単純に初項から第 $n$ 項までの和でなくても，同じように考えて，$n$ を1つずらして差をとろう。
ヒロ
ただし，今回は右辺に $a_n$ などがないため，$n$ を $n-1$ にして差をとろう。
【前半の解答】
$n\geqq1$ のとき
よって，$n\geqq1$ において $a_n=3n-2$ が成り立つ。
$n\geqq1$ のとき
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}(2{a_k}^2+1)=6n^3-3n^2~\cdots\cdots ①
\end{align*}
が成り立つから，$n\geqq2$ のとき\Sum{k=1}{n}(2{a_k}^2+1)=6n^3-3n^2~\cdots\cdots ①
\end{align*}
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n-1}(2{a_k}^2+1)=6(n-1)^3-3(n-1)^2~\cdots\cdots ②
\end{align*}
が成り立つ。$①-②$ より\Sum{k=1}{n-1}(2{a_k}^2+1)=6(n-1)^3-3(n-1)^2~\cdots\cdots ②
\end{align*}
\begin{align*}
&2{a_n}^2+1=6\{n^3-(n-1)^3\}-3\{n^2-(n-1)^2\} \\[4pt]&2{a_n}^2+1=6(3n^2-3n+1)-3(2n-1) \\[4pt]&{a_n}^2=9n^2-12n+4 \\[4pt]&{a_n}^2=(3n-2)^2
\end{align*}
$a_n>0,~3n-2>0$ より&2{a_n}^2+1=6\{n^3-(n-1)^3\}-3\{n^2-(n-1)^2\} \\[4pt]&2{a_n}^2+1=6(3n^2-3n+1)-3(2n-1) \\[4pt]&{a_n}^2=9n^2-12n+4 \\[4pt]&{a_n}^2=(3n-2)^2
\end{align*}
\begin{align*}
a_n=3n-2
\end{align*}
ここで，①において $n=1$ とするとa_n=3n-2
\end{align*}
\begin{align*}
&2{a_1}^2+1=6-3 \\[4pt]&{a_1}^2=1
\end{align*}
$a_1>0$ より，$a_1=1$&2{a_1}^2+1=6-3 \\[4pt]&{a_1}^2=1
\end{align*}
よって，$n\geqq1$ において $a_n=3n-2$ が成り立つ。
ヒロ
一般項 $a_n$ が求まったから，もう1つの和の問題はシグマ計算をするだけだね。
計算します！
【後半の解答】
$a_n=3n-2$ より，
$a_n=3n-2$ より，
\begin{align*}
2a_k+1=2(3k-2)+1=6k-3
\end{align*}
であるから2a_k+1=2(3k-2)+1=6k-3
\end{align*}
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}(2a_k+1)&=\Sum{k=1}{n}(6k-3) \\[4pt]&=\dfrac{3+(6n-3)}{2}\Cdota n \\[4pt]&=3n^2
\end{align*}
\Sum{k=1}{n}(2a_k+1)&=\Sum{k=1}{n}(6k-3) \\[4pt]&=\dfrac{3+(6n-3)}{2}\Cdota n \\[4pt]&=3n^2
\end{align*}