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練習問題の別解
もし解法が上に書いたものと同じなら，ちょっと悲しむだろうね。
え？悲しむって誰が・・・
出題者だよ。(2)と(3)に隠した仕掛けに気付いてもらえなかったと悲しむはずってこと。
どんな仕掛けがあったかは別解を見てもらうことにしよう。
$b_{n+1}=2b_n+n$ より，$b_{n+2}=2b_{n+1}+n+1$ となるから，辺々を引いて
b_{n+2}-b_{n+1}=2(b_{n+1}-b_n)+1
\end{align*}
a_{n+1}=2a_n+1
\end{align*}
a_1=b_2-b_1=5-2=3
\end{align*}
したがって，(1)の結果より
b_{n+1}-b_n=2^{n+1}-1
\end{align*}
なるほど。階差型の解法で解くと，(1)を利用できるように作られてるんですね。
でも，漸化式の形が変わっただけで，ここから階差型の漸化式を解くってことを考えると，あまり変わらないような・・・
あまり変わらないかどうかは続きを見てもらおう。
&(2b_n+n)-b_n=2^{n+1}-1 \\[4pt]
&b_n=2^{n+1}-n-1
\end{align*}
あぁ！最初に与えられた漸化式と連立方程式みたいな考え方をすれば良いんですね！確かに，これなら楽ですね！
でも，引いてみないと，うまく1が残って(1)を利用できるかどうかなんて分からないんじゃないですか？
ポイントは前にも言ったよね？$n$ の1次式で表された数列は等差数列で，$n$ の係数は公差なんだよ？
いま，$n$ の1次式は単なる $n$ なんだから，$n$ を1つずらして引けば，1になるなんて当たり前！と言えるようになれば，成績上位層になれると思うよ。
はい・・・頑張ります。
(3)については，$\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n$ ではなく，$\dfrac{1}{2}n(n-1)$ となっていることに注目しよう。この式を見て，$\nCk{n}{2}$ だなって思うよね。
いや・・・きついです。
二項係数の公式 $\nCk{n}{k}=\nCk{n-1}{k-1}+\nCk{n-1}{k}$ より，$\nCk{n+1}{2}-\nCk{n}{2}=\nCk{n}{1}$ が成り立つから階差数列考えれば(2)の形になるなぁって思えるよね。
・・・
$c_{n+1}=2c_n+\dfrac{1}{2}n(n-1)$ より，$c_{n+2}=2c_{n+1}+\dfrac{1}{2}(n+1)n$ となるから，辺々を引いて
c_{n+2}-c_{n+1}=2(c_{n+1}-c_n)+n
\end{align*}
b_{n+1}=2b_n+n
\end{align*}
b_1=c_2-c_1=5-2=3
\end{align*}
したがって，(2)の結果より
c_{n+1}-c_n=2^{n+1}-n-1
\end{align*}
&2c_n+\dfrac{1}{2}n(n-1)-c_n=2^{n+1}-n-1 \\[4pt]
&c_n=2^{n+1}-\dfrac{1}{2}n(n+1)-1
\end{align*}
なるほど・・かなり簡単に解けますね。
要は前の問題を利用することを少しは考えた方が良いよってことですね。
まとめ
漸化式パターン3の $f(n)$ が $n$ の2次式で表される漸化式は，出題率は低いが，出題されたときに得点できるように，解法をしっかり身に付けよう。
他のタイプについてもマスターできるようにしよう。
