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漸化式パターン2，3の練習
ヒロ
これまでに学習したパターンをまとめて復習しておこう。
2008年 同志社大次の条件によって定まる数列 $\{a_n\},~\{b_n\},~\{c_n\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。$n$ を自然数とする。
(1) $a_1=3,~a_{n+1}=2a_n+1$
(2) $b_1=2,~b_{n+1}=2b_n+n$
(3) $c_1=2,~$$c_{n+1}=2c_n+\dfrac{1}{2}n(n-1)$
(1) $a_1=3,~a_{n+1}=2a_n+1$
(2) $b_1=2,~b_{n+1}=2b_n+n$
(3) $c_1=2,~$$c_{n+1}=2c_n+\dfrac{1}{2}n(n-1)$
ヒロ
今までのことを理解していれば解けるはず。頑張ろう。
ヒロ
答えはこの下に書いておくよ。
【(1)の解答】
特性方程式 ${\color{blue}x=2x+1}$ を解いて，${\color{blue}x=-1}$
$a_{n+1}=2a_n+1$ より，$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$
数列 $\{a_n+1\}$ は公比2の等比数列となり，$a_1+1=4$ だから
特性方程式 ${\color{blue}x=2x+1}$ を解いて，${\color{blue}x=-1}$
$a_{n+1}=2a_n+1$ より，$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$
数列 $\{a_n+1\}$ は公比2の等比数列となり，$a_1+1=4$ だから
\begin{align*}
&a_n+1=4\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&a_n=2^{n+1}-1
\end{align*}
※青字の部分は解答に書かなくて良い。&a_n+1=4\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&a_n=2^{n+1}-1
\end{align*}
【(2)の解答】
与えられた漸化式が
$b_1=2$ より $b_1+1+1=4$ だから，
与えられた漸化式が
\begin{align*}
b_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(b_n+\alpha n+\beta)
\end{align*}
と変形できるとすると，b_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=2(b_n+\alpha n+\beta)
\end{align*}
\begin{align*}
b_{n+1}=2b_n+\alpha n-\alpha+\beta
\end{align*}
となるから，元の漸化式と比較して，b_{n+1}=2b_n+\alpha n-\alpha+\beta
\end{align*}
\begin{align*}
&\begin{cases}
\alpha=1 \\[4pt]-\alpha+\beta=0
\end{cases} \\[4pt]&\alpha=1,\beta=1
\end{align*}
したがって，&\begin{cases}
\alpha=1 \\[4pt]-\alpha+\beta=0
\end{cases} \\[4pt]&\alpha=1,\beta=1
\end{align*}
\begin{align*}
b_{n+1}+(n+1)+1=2(b_n+n+1)
\end{align*}
となるから，数列 $\{b_n+n+1\}$ は公比2の等比数列である。b_{n+1}+(n+1)+1=2(b_n+n+1)
\end{align*}
$b_1=2$ より $b_1+1+1=4$ だから，
\begin{align*}
&b_n+n+1=4\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&b_n=2^{n+1}-n-1
\end{align*}
&b_n+n+1=4\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&b_n=2^{n+1}-n-1
\end{align*}
【(3)の解答】
与えられた漸化式が
したがって，
$c_1=2$ より $c_1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1=4$ だから，
与えられた漸化式が
\begin{align*}
c_{n+1}+\alpha(n+1)^2+\beta(n+1)+\gamma=2(c_n+\alpha n^2+\beta n+\gamma)
\end{align*}
と変形できるとすると，c_{n+1}+\alpha(n+1)^2+\beta(n+1)+\gamma=2(c_n+\alpha n^2+\beta n+\gamma)
\end{align*}
\begin{align*}
c_{n+1}=2c_n+\alpha n^2+(-2\alpha+\beta)n-\alpha-\beta+\gamma
\end{align*}
となるから，元の漸化式と比較して，c_{n+1}=2c_n+\alpha n^2+(-2\alpha+\beta)n-\alpha-\beta+\gamma
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha=\dfrac{1}{2} \\[4pt]-2\alpha+\beta=-\dfrac{1}{2} \\[4pt]-\alpha-\beta+\gamma=0
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて，$\alpha=\dfrac{1}{2}$，$\beta=\dfrac{1}{2}$，$\gamma=1$\begin{cases}
\alpha=\dfrac{1}{2} \\[4pt]-2\alpha+\beta=-\dfrac{1}{2} \\[4pt]-\alpha-\beta+\gamma=0
\end{cases}
\end{align*}
したがって，
\begin{align*}
c_{n+1}+\dfrac{1}{2}(n+1)^2+\dfrac{1}{2}(n+1)+1=2\left(c_n+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+1\right)
\end{align*}
となるから，数列 $\left\{c_n+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+1\right\}$ は公比2の等比数列である。c_{n+1}+\dfrac{1}{2}(n+1)^2+\dfrac{1}{2}(n+1)+1=2\left(c_n+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+1\right)
\end{align*}
$c_1=2$ より $c_1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1=4$ だから，
\begin{align*}
&c_n+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+1=4\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&c_n=2^{n+1}-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n-1
\end{align*}
&c_n+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n+1=4\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&c_n=2^{n+1}-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n-1
\end{align*}
全部合ってました！