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2019年 センター試験 数学ⅡB 第1問 指数関数・対数関数

2019年 センター数学ⅡB 指数関数・対数関数数学IAIIB
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2019年センター試験 数学ⅡB 第1問 指数関数・対数関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年 センターⅡB 指数・対数関数連立方程式
\begin{align*}
\begin{cases}
\log_2(x+2)-2\log_4(y+3)=-1 &\cdots\cdots② \\[4pt]
\left(\dfrac{1}{3}\right)^y-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0 &\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}
を満たす実数 $x,~y$ を求めよう。
 真数の条件により,$x,~y$ のとり得る値の範囲は $\myBox{タ}$ である。$\myBox{タ}$ に当てはまるものを,次の⓪~⑤のうちから一つ選べ。ただし,対数 $\log_ab$ に対し,$a$ を底といい,$b$ を真数という。
⓪ $x<0,~y>0$ ① $x>2,~y>3$ ② $x>-2,~y>-3$
③ $x<0,~y<0$ ④ $x<2,~y<3$ ⑤ $x<-2,~y<-3$
 底の変換公式により
\begin{align*}
\log_4(y+3)=\dfrac{\log_2(y+3)}{\myBox{チ}}
\end{align*}
である。よって,②から
\begin{align*}
y=\myBox{ツ}~x+\myBox{テ} \cdots\cdots④
\end{align*}
が得られる。
 次に,$t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ とおき,④を用いて③を $t$ の方程式に書き直すと
\begin{align*}
t^2-\myBox{トナ}~t+\myBox{ニヌ}=0 \cdots\cdots⑤
\end{align*}
が得られる。また,$x$ が $\mybox{タ}$ における $x$ の範囲を動くとき,$t$ のとり得る値の範囲は
\begin{align*}
\myBox{ネ}<t<\myBox{ノ} \cdots\cdots⑥
\end{align*}
である。
 ⑥の範囲で方程式⑤を解くと,$t=\myBox{ハ}$ となる。したがって,連立方程式②, ③を満たす実数 $x,~y$ の値は
\begin{align*}
x=\log_3\dfrac{\myBox{ヒ}}{\myBox{フ}},~y=\log_3\dfrac{\myBox{ヘ}}{\myBox{ホ}}
\end{align*}
であることがわかる。
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考え方と解答

ヒロ
ヒロ

真数の条件とは「真数は正である」ことを知っておこう。

【タの解答】
②の真数は正であるから
\begin{align*}
&x+2>0,~y+3>0 \\[4pt]
&x>-2,~y>-3
\end{align*}
よって,$\myBox{タ}=②$
ヒロ
ヒロ

次は底を変える問題。底の変換公式を思い出そう。

【チの解答】
\begin{align*}
\log_4(y+3)&=\dfrac{\log_2(y+3)}{\log_24} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_2(y+3)}{2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これを利用して,$y$ を $x$ で表そう。

【ツテの解答】
②より
\begin{align*}
&\log_2(x+2)+1=2\log_4(y+3) \\[4pt]
&\log_22(x+2)=\log_2(y+3) \\[4pt]
&2(x+2)=y+3 \\[4pt]
&y=2x+1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

対数の変形では,係数が正になるように移項するのがオススメ。

ヒロ
ヒロ

次は③を $t$ の方程式に書き直す問題。指数法則を利用しよう。

【ト~ヌの解答】
$y=2x+1$ であり,③より
\begin{align*}
&\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+1}-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0 \\[4pt]
&\dfrac{1}{3}\left\{\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\right\}^2-\dfrac{11}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^x+6=0 \\[4pt]
&\dfrac{1}{3}t^2-\dfrac{11}{3}t+6=0 \\[4pt]
&t^2-11t+18=0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$x>-2$ のときの $t$ のとり得る値の範囲を求める問題。

ヒロ
ヒロ

底が1より小さい正の値であるとき,$x$ が増加するとき,$y$ は減少することに注意しよう。

【ネノの解答】
底が $0<\dfrac{1}{3}<1$ であるから,$x>-2$ のとき,
\begin{align*}
&0<\left(\dfrac{1}{3}\right)^x<\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} \\[4pt]
&0<t<9
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は2次方程式を解く問題。

【ハの解答】
$t^2-11t+18=0$ より
\begin{align*}
&(t-2)(t-9)=0 \\[4pt]
&t=2,~9
\end{align*}
$0<t<9$ より,$t=2$
ヒロ
ヒロ

最後は $t$ の値から $x,~y$ の値を求める問題。

【ヒ~ホの解答】
$t=2$ より
\begin{align*}
&\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=2 \\[4pt]
&3^{-x}=2 \\[4pt]
&-x=\log_32 \\[4pt]
&x=-\log_32 \\[4pt]
&x=\log_3\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$y=2x+1$ より
\begin{align*}
y&=2\log_3\dfrac{1}{2}+1 \\[4pt]
&=\log_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\Cdota3 \\[4pt]
&=\log_3\dfrac{3}{4}
\end{align*}

2019年 センター数学ⅡB 指数関数・対数関数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

丁寧な誘導があるため,詰まる箇所は特にないだろう。

ヒロ
ヒロ

単純な計算をいかに速くできるかがポイントとなる。

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