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多項式の係数の和の求め方とは?

多項式の係数の和数学IAIIB
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今回は多項式の係数の和に関する問題について説明します。

問題$(x^2+4x-3)^6$ の展開式の係数の和を求めよ。
ヒロ
ヒロ

考えてみよう!

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問題を簡単化する

展開したら,あとは係数を足すだけですけど,そんな面倒なことしないですよね?

ヒロ
ヒロ

確かに展開すれば求められるけど,ものすごく時間と労力がかかるのと,そもそも正確に計算できないと思うよ?

そうですよね・・・

ヒロ
ヒロ

求めるものは係数そのものではなく,係数の和なんだよね。

そんなこと言われてもそんな問題解いたことないですよ。

ヒロ
ヒロ

解いたことがない問題も解けるように,頭の中にある知識を強化したり,様々な考え方を結びつけていくことが重要だね。

ヒロ
ヒロ

まずは問題を簡単にしてみよう。今回の問題で面倒だなぁって思うのは何?

6乗になってる部分です。

ヒロ
ヒロ

そうだね。次数が高いと計算が面倒になるよね。ってことで6乗をなくしてしまおう。

補題1$x^2+4x-3$ の係数の和を求めよ。

$1+4-3=2$ です!

でも,こんなの誰でも出来るじゃないですか!

ヒロ
ヒロ

確かに簡単だけど,簡単な問題を何も考えずに解くことに意味はないね。この簡単にした問題の解き方を一般化させることが重要なんだ。

解き方を一般化させる・・・?

ヒロ
ヒロ

どうすれば,一般的に係数の和を求めることができるのかを考えないと意味がないよね。

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