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【数学IA】2次関数の決定

2次関数の決定数学IAIIB
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ここでは条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求める問題を解説します。

与えられる条件によって,適切な形で2次関数の方程式を設定できるようにしましょう。

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頂点に関する条件が与えられた場合

問題次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。
(1) 頂点が点 $(1,~2)$ で,点 $(3,~6)$ を通る。
(2) 頂点が点 $(2,~3)$ で,点 $(5,~-6)$ を通る。
ヒロ
ヒロ

2次関数の表し方は主に2通りある。

2次関数の表し方 ① $y=a(x-p)^2+q$
 ② $y=ax^2+bx+c$
①は標準形と呼ばれ,②は一般形と呼ばれる。①の形で表したとき,頂点の座標は $(p,~q)$ とすぐに分かる。したがって,頂点が与えられたときは標準形で表すと良いだろう。
【(1)の考え方と解答】
求める2次関数は $y=a(x-1)^2+2$ と表せる。これが点 $(3,~6)$ を通るとき
\begin{align*}
&4a+2=6 \\[4pt]
&a=1
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
&y=(x-1)^2+2 \\[4pt]
&y=x^2-2x+3
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後に書く答えの形は平方完成されていても一般形でもどちらでも良い。

ヒロ
ヒロ

(2)も同じように解いてみよう。

(2) 頂点が点 $(2,~3)$ で,点 $(5,~-6)$ を通る。

【(2)の考え方と解答】
求める2次関数は $y=a(x-2)^2+3$ と表せる。これが点 $(5,~-6)$ を通るとき
\begin{align*}
&9a+3=-6 \\[4pt]
&a=-1
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
&y=-(x-2)^2+3 \\[4pt]
&y=-x^2+4x-1
\end{align*}

軸に関する条件が与えられた場合

ヒロ
ヒロ

軸に関する条件が与えられた場合は,頂点の $x$ 座標が与えられていることになるから,2次関数を標準形で表そう。

問題次の条件を満たす放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。
(1) 軸が直線 $x=-1$ で,2点 $(1,~3)$,$(-2,~-3)$ を通る。
(2) 軸が直線 $x=-2$ で,2点 $(2,~-1)$,$(-8,~4)$ を通る。
【(1)の考え方と解答】
求める2次関数は $y=a(x+1)^2+q$ と表せる。これが点 $(1,~3)$ と $(-2,~-3)$ を通るとき
\begin{align*}
&\begin{cases}
4a+q=3 \\[4pt]
a+q=-3
\end{cases} \\[4pt]
&a=2,~q=-5
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
&y=2(x+1)^2-5 \\[4pt]
&y=2x^2+4x-3
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

(2)も同じように解いてみよう。

(2) 軸が直線 $x=-2$ で,2点 $(2,~-1)$,$(-8,~4)$ を通る。

【(2)の考え方と解答】
求める2次関数は $y=a(x+2)^2+q$ と表せる。これが点 $(2,~-1)$ と $(-8,~4)$ を通るとき
\begin{align*}
&\begin{cases}
16a+q=-1\\[4pt]
36a+q=4
\end{cases} \\[4pt]
&a=\dfrac{1}{4},~q=-5
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
&y=\dfrac{1}{4}(x+2)^2-5 \\[4pt]
&y=\dfrac{1}{4}x^2+x-4
\end{align*}

3点が与えられた場合

ヒロ
ヒロ

3点が与えられた場合は,多くの人は2次関数を一般形で表す解法を用いる。

ヒロ
ヒロ

その場合,3つの文字の連立方程式(連立3元1次方程式)を解くことになる。

ヒロ
ヒロ

多少面倒であるが,連立方程式を解けるようにしておこう。

問題3点 $\text{A}(1,~-2)$,$\text{B}(-2,~-5)$,$\text{C}(3,~10)$ を通る2次関数を求めよ。
【考え方と解答】
求める2次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおく。
Aを通るから,$a+b+c=-2\cdots\cdots$①
Bを通るから,$4a-2b+c=-5\cdots\cdots$②
Cを通るから,$9a+3b+c=10\cdots\cdots$③
連立方程式を解くときの基本的な考え方は,1文字消去。$c$ の係数は常に1だから,辺々を引くことで $c$ を消去することができる。
つまり,①と②,②と③を引くことで,$a$ と $b$ の連立方程式になる。個人的には $a$ の係数が正になるように引くようにしている。
$②-①$ より,$3a-3b=-3$
$a-b=-1\cdots\cdots$④
$③-②$ より,$5a+5b=15$
よって,$a+b=3\cdots\cdots$⑤
④,⑤より,$a=1,~b=2$
このとき①より,$c=-5$
したがって,求める2次関数は,$y=x^2+2x-5$
ヒロ
ヒロ

3点を通る2次関数を求めるときに連立方程式を解かない方法もある。

ヒロ
ヒロ

詳しくは次の記事で解説しているので,興味がある人は読んで欲しい。

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