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【数学ⅡB】累乗根を理解しよう

累乗根とその性質数学IAIIB

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累乗根の性質

ヒロ
ヒロ

累乗根の定義から,累乗根の様々な性質を導くことができる。

ヒロ
ヒロ

$a,~b$ を正の数,$m,~n,~p$ が正の整数とすると,累乗根の性質は次のようになる。

累乗根の性質
  1. $(\sqrt[n]{a})^n=a$
  2. $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
  3. $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$
  4. $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$
  5. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$
  6. $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp}}$

有名な累乗数

ヒロ
ヒロ

累乗根の計算を速くするためにも,覚えておくと良い数がある。

有名な累乗数2の累乗については10乗までは常識にしておこう。他の数についても,ある程度は覚えておくと良いだろう。
※右にスライドできます。
\begin{align*}
2^2&=4 & 2^3&=8 & 2^4&=16 & 2^5&=32 & 2^6&=64 \\[4pt]
2^7&=128 & 2^8&=256 & 2^9&=512 & 2^{10}&=1024 \\[4pt]
3^2&=9 & 3^3&=27 & 3^4&=81 & 3^5&=243 & 3^6&=729 \\[4pt]
4^2&=16 & 4^3&=64 & 4^4&=256 & 4^5&=1024 \\[4pt]
5^2&=25 & 5^3&=125 & 5^4&=625 \\[4pt]
6^2&=36 & 6^3&=216 & 6^4&=1296 \\[4pt]
7^2&=49 & 7^3&=343 \\[4pt]
8^2&=64 & 8^3&=512 \\[4pt]
9^2&=81 & 9^3&=729
\end{align*}

練習問題

ヒロ
ヒロ

次の問題で練習しておこう。

練習問題次の計算をせよ。
(1) $(\sqrt[3]{2})^3$
(2) $\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{8}$
(3) $\dfrac{\sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{4}}$
(4) $\sqrt[3]{\sqrt{729}}$
【考え方と解答】
(1) $(\sqrt[3]{2})^3=2$
(2) $\sqrt[4]{2}\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{16}=2$
(3)
\begin{align*}
\dfrac{\sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{4}}&=\sqrt[3]{\dfrac{256}{4}} \\[4pt]
&=\sqrt[3]{64}=4
\end{align*}
(4) $\sqrt[3]{\sqrt{729}}=\sqrt[6]{729}=3$
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