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【数学ⅡB】常用対数と桁数【北里大・日本福祉大・早稲田大】

常用対数と桁数数学IAIIB

大きい数の桁数を求める方法について説明します。

桁数を求めるときには常用対数を利用しますが,常用対数とは何なのかを知りましょう。

また,何故桁数を求めることができるのかについても理解することが重要です。

桁数について理解することができれば,2進数や16進数などの桁数についても問題なく求めることができるようになるでしょう。

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常用対数とは

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常用対数は次のように定義されている。

常用対数とは底を10とする対数のことである。ブリッグスの対数とも呼ばれる。大学入試では近似値が与えられることが多いが,次のような代表的な常用対数の値については,覚えているのが当然であると言われることもある。
\begin{align*}
&\log_{10}2=0.3010(おっさん冷凍) \\[4pt]
&\log_{10}3=0.4771(死なない) \\[4pt]
&\log_{10}7=0.8451(早よ来い)
\end{align*}
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近似値が与えられていない入試問題もあり,近似値を覚えていない場合は,答えと同じ値を求めることは難しかっただろう。

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また,常用対数の整数部分を指標または標数,小数部分を仮数ということも知っておくと良いだろう。

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ただし,近似値を用いた計算には誤差がある。これについて少し話しておこう。

 例えば,大学入試では $\log_{10}7=0.8451$ と与えられることが多いが,正確には $\log_{10}7=0.845098\cdots$ である。ほんの少しの差ではあるが,近似値で計算した結果が正確な結果と異なる場合もある。
 間違った結果にならないようにするための工夫として,不等式を用いて考えることが挙げられる。京大入試や最近の阪大入試では,不等式を用いた評価を考えさせる問題が出題されている。つまり「$0.3010<\log_{10}2<0.3011$」のように不等式で与えることで,数値の誤差がかなり小さくなり,ある程度正しい結果が得られるようになる。

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