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2020年 日本福祉大
2020年 日本福祉大次の問いに答えよ。ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$ とする。
(1) $\log_{10}12^{100}$ を小数第2位まで求めよ。
(2) $12^{100}$ は何桁の整数か。
(3) $\dfrac{12^{100}}{8}$，$\dfrac{12^{100}}{9}$ はそれぞれ何桁の整数か。
(1) $\log_{10}12^{100}$ を小数第2位まで求めよ。
(2) $12^{100}$ は何桁の整数か。
(3) $\dfrac{12^{100}}{8}$，$\dfrac{12^{100}}{9}$ はそれぞれ何桁の整数か。
【(1)の考え方と解答】
真数の12を2と3の積で表して計算しよう。
真数の12を2と3の積で表して計算しよう。
\begin{align*}
\log_{10}12^{100}&=100\log_{10}(2^2\Cdota3) \\[4pt]
&=100(2\log_{10}2+\log_{10}3) \\[4pt]
&=100(2\times0.3010+0.4771) \\[4pt]
&=107.91
\end{align*}
\log_{10}12^{100}&=100\log_{10}(2^2\Cdota3) \\[4pt]
&=100(2\log_{10}2+\log_{10}3) \\[4pt]
&=100(2\times0.3010+0.4771) \\[4pt]
&=107.91
\end{align*}
(2) $12^{100}$ は何桁の整数か。
【(2)の考え方と解答】
常用対数の値を1違いで挟んで桁数を求めよう。(1)の結果より
常用対数の値を1違いで挟んで桁数を求めよう。(1)の結果より
\begin{align*}
&107<\log_{10}12^{100}<108 \\[4pt] &10^{107}<12^{100}<10^{108} \end{align*}
よって，$12^{100}$ は108桁の整数である。&107<\log_{10}12^{100}<108 \\[4pt] &10^{107}<12^{100}<10^{108} \end{align*}
(3) $\dfrac{12^{100}}{8}$，$\dfrac{12^{100}}{9}$ はそれぞれ何桁の整数か。
【(3)の考え方と解答】
常用対数の値を計算しよう。
常用対数の値を計算しよう。
\begin{align*} \log_{10}\dfrac{12^{100}}{8}&=100\log_{10}12-\log_{10}8 \\[4pt] &=100(2\log_{10}2+\log_{10}3)-3\log_{10}2 \\[4pt] &=197\log_{10}2+100\log_{10}3 \\[4pt] &=197\times0.3010+100\times0.4771 \\[4pt] &=107.007 \end{align*}
であるから \begin{align*} &107<\log_{10}\dfrac{12^{100}}{8}<108 \\[4pt] &10^{107}<\dfrac{12^{100}}{8}<10^{108} \end{align*}
よって，$\dfrac{12^{100}}{8}$ は108桁の整数である。\begin{align*} \log_{10}\dfrac{12^{100}}{9}&=100\log_{10}12-\log_{10}9 \\[4pt] &=100(2\log_{10}2+\log_{10}3)-2\log_{10}3 \\[4pt] &=200\log_{10}2+98\log_{10}3 \\[4pt] &=200\times0.3010+98\times0.4771 \\[4pt] &=106.9558 \end{align*}
であるから \begin{align*} &106<\log_{10}\dfrac{12^{100}}{9}<107 \\[4pt] &10^{106}<\dfrac{12^{100}}{8}<10^{107} \end{align*}
よって，$\dfrac{12^{100}}{9}$ は107桁の整数である。2019年 早稲田大
2019年 早稲田大2進数で256桁の数として表される最大の自然数を $M$ とする。$N=M+1$ とするとき，以下の問いに答えよ。ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$ とする。
(1) $N$ は，16進数では何桁の数で表されるか。
(2) $N$ は，10進数では何桁の数で表されるか。
(1) $N$ は，16進数では何桁の数で表されるか。
(2) $N$ は，10進数では何桁の数で表されるか。
ヒロ
公式を丸暗記して解いている人にとっては，解けない問題だろう。
ヒロ
桁数の意味を考えて解くことが重要である。
【(1)の考え方と解答】
$M$ は2進数で256桁の数として表される最大の自然数であるから
これを底を16の数に書き換えると
$M$ は2進数で256桁の数として表される最大の自然数であるから
\begin{align*}
&M=2^{256}-1
\end{align*}
よって，$N=M+1$ より $N=2^{256}$ となる。&M=2^{256}-1
\end{align*}
これを底を16の数に書き換えると
\begin{align*}
N=(2^4)^{64}=16^{64}
\end{align*}
となるから，$N$ は16進数では65桁の数である。N=(2^4)^{64}=16^{64}
\end{align*}
(2) $N$ は，10進数では何桁の数で表されるか。
【(2)の考え方と解答】
10進数での桁数を求めるから，常用対数を考える。
10進数での桁数を求めるから，常用対数を考える。
\begin{align*}
\log_{10}N&=\log_{10}2^{256} \\[4pt]
&=256\log_{10}2 \\[4pt]
&=256\times0.3010 \\[4pt]
&=77.056
\end{align*}
となるから\log_{10}N&=\log_{10}2^{256} \\[4pt]
&=256\log_{10}2 \\[4pt]
&=256\times0.3010 \\[4pt]
&=77.056
\end{align*}
\begin{align*}
&77<\log_{10}N<78 \\[4pt] &10^{77}<N<10^{78} \end{align*}
したがって，$N$ は10進数では78桁の数である。&77<\log_{10}N<78 \\[4pt] &10^{77}<N<10^{78} \end{align*}