【数学ⅡB】常用対数と桁数【北里大・日本福祉大・早稲田大】

$$\begin{align*} \log_{10}12^{100}&=100\log_{10}(2^2\Cdota3) \\[4pt] &=100(2\log_{10}2+\log_{10}3) \\[4pt] &=100(2\times0.3010+0.4771) \\[4pt] &=107.91 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &107<\log_{10}12^{100}<108 \\[4pt] &10^{107}<12^{100}<10^{108} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \log_{10}\dfrac{12^{100}}{8}&=100\log_{10}12-\log_{10}8 \\[4pt] &=100(2\log_{10}2+\log_{10}3)-3\log_{10}2 \\[4pt] &=197\log_{10}2+100\log_{10}3 \\[4pt] &=197\times0.3010+100\times0.4771 \\[4pt] &=107.007 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &107<\log_{10}\dfrac{12^{100}}{8}<108 \\[4pt] &10^{107}<\dfrac{12^{100}}{8}<10^{108} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \log_{10}\dfrac{12^{100}}{9}&=100\log_{10}12-\log_{10}9 \\[4pt] &=100(2\log_{10}2+\log_{10}3)-2\log_{10}3 \\[4pt] &=200\log_{10}2+98\log_{10}3 \\[4pt] &=200\times0.3010+98\times0.4771 \\[4pt] &=106.9558 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &106<\log_{10}\dfrac{12^{100}}{9}<107 \\[4pt] &10^{106}<\dfrac{12^{100}}{8}<10^{107} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &M=2^{256}-1 \end{align*}$$

$$\begin{align*} N=(2^4)^{64}=16^{64} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \log_{10}N&=\log_{10}2^{256} \\[4pt] &=256\log_{10}2 \\[4pt] &=256\times0.3010 \\[4pt] &=77.056 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &77<\log_{10}N<78 \\[4pt] &10^{77}<N<10^{78} \end{align*}$$