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【数学ⅡB】対数関数の最大と最小【愛知医科大・北里大・立教大・早稲田大】

対数関数の最大最小数学IAIIB
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ここでは,対数関数の最大最小問題について説明します。

対数関数の最大最小問題では,底や真数から得られる定義域や,底と1との大小関係に注意しましょう。

また,指数表示と対数表示の変換をスムーズに行えるようにしておくことが重要です。

多くの問題では2次関数の最大最小問題に帰着させることが多いため,2次関数の最大最小問題が苦手な人は復習すると良いでしょう。

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2020年 愛知医科大

2020年 愛知医科大
$\displaystyle
y=(\log_{10}x)^2-\log_{10}x^4+6
$
の最小値を求めよ。
【考え方と解答】
真数は正であるから,$x>0$ かつ $x^4>0$
よって,定義域は $x>0$ である。
$\log_{10}x=t$ とおくと,$t$ はすべての実数をとり得る。
\begin{align*}
y&=t^2-4t+6 \\[4pt]
&=(t-2)^2+2
\end{align*}
$t=2$ のとき,$y$ は最小となる。このとき,
\begin{align*}
&\log_{10}x=2 \\[4pt]
&x=100
\end{align*}
よって,$x=100$ のとき,最小値2をとる。

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