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【数学ⅡB】数列の和と一般項【東京女子大】

数列の和と一般項数学IAIIB

ここでは数列の和からその数列の一般項を求める方法を説明します。

数列の和を含む漸化式の解法にもつながるため,しっかりと理解しておくことが大切です。

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数列の和と一般項

ヒロ
ヒロ

数列の和が与えられたときに一般項を求める方法を知っておこう。

和と一般項数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき,
\begin{align*}
\begin{cases}
a_1=S_1 \\[4pt]
n\geqq2~のとき,a_n=S_n-S_{n-1}
\end{cases}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

証明は次の通りである。

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n$ であるから
\begin{align*}
&S_n=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n~\cdots\cdots① \\[4pt]
&S_{n-1}=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}~\cdots\cdots②
\end{align*}
$①-②$ より
\begin{align*}
S_n-S_{n-1}=a_n~\cdots\cdots③
\end{align*}
①は $n\geqq1$ のときに成り立つが,②は $n\geqq2$ のときに成り立つから,③は $n\geqq2$ のときに成り立つ。

2021年 東京女子大

2021年 東京女子大初項から第 $n$ 項までの和が $S_n=\dfrac{3}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n$ である数列 $\{a_n\}$ について,以下の設問に答えよ。
(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。
(2) $\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{a_ka_{k+1}}$ を求めよ。
【(1)の解答と考え方】
$a_1=S_1=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1$
$n\geqq2$ のとき
\begin{align*}
a_n&=S_n-S_{n-1} \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}n^2-\dfrac{1}{2}n-\left\{\dfrac{3}{2}(n-1)^2-\dfrac{1}{2}(n-1)\right\} \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}(2n-1)-\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=3n-2
\end{align*}
これは $n=1$ のときも成り立つ。
よって,$a_n=3n-2$

(2) $\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{a_ka_{k+1}}$ を求めよ。

【(2)の解答と考え方】
(1)の結果より
\begin{align*}
\dfrac{1}{a_ka_{k+1}}&=\dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3k-2}-\dfrac{1}{3k+1}\right)
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{a_ka_{k+1}}&=\dfrac{1}{3}\Sum{k=1}{n}\left(\dfrac{1}{3k-2}-\dfrac{1}{3k+1}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{3n+1}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{n}{3n+1}
\end{align*}
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