2019年センター試験 数学ⅠA 第2問 三角比

2019年センター試験数学ⅠA 第2問三角比の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年センターⅠA 第2問三角比　$\sankaku{ABC}$ において，$\mathrm{AB}=3$, $\mathrm{BC}=4$, $\mathrm{AC}=2$ とする。
　次の $\mybox{エ}$ には，下の⓪～②のうちから当てはまるものを一つ選べ。
　$\cos\kaku{BAC}=\dfrac{\myBox{アイ}}{\myBox{ウ}}$ であり，$\kaku{BAC}$ は $\myBox{エ}$ である。
また，$\sin\kaku{BAC}=\dfrac{\sqrt{\myBox{オカ}}}{\myBox{キ}}$ である。
⓪ 鋭角　① 直角　② 鈍角
　線分ACの垂直二等分線と直線ABの交点をDとする。
$\cos\kaku{CAD}=\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ であるから，
$\mathrm{AD}=\myBox{コ}$ であり，$\sankaku{DBC}$ の面積は $\dfrac{\myBox{サ}\sqrt{\myBox{シス}}}{\myBox{セ}}$ である。

Contents

1 考え方と解答
2 2019年センター数学ⅠA 三角比を解いた感想

考え方と解答

ヒロ

最初は3辺の長さから $\cos$ の値を求める問題。余弦定理を用いて求めよう。

ヒロ

図を描かずに余弦定理の式を書けるようにしよう。

【図を描かずに余弦定理の式を書く方法】
$\cos\kaku{BAC}$ となっている場合，中央の文字が考えている角であるから，$\kaku{A}$ についての余弦定理を考える。余弦定理の式を書くと次のようになっている。

\begin{align*}
\cos\kaku{BAC}=\dfrac{\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2-\mathrm{BC}^2}{2\mathrm{AB}\Cdota\mathrm{AC}}
\end{align*}

分母には，中央の文字Aが絡む辺AB，ACを書く。分子には，分母に書いた辺の2乗の和を書いた後，Aが絡まない辺BCの2乗を引けば良い。

ヒロ

このことはやっている人からすれば当たり前のことなので，出来ていなかった人は出来るようにしよう。

【ア～ウの解答】
余弦定理より

\begin{align*}
\cos\kaku{BAC}&=\dfrac{3^2+2^2-4^2}{2\Cdota3\Cdota2} \\[4pt]
&=\dfrac{9+4-16}{12} \\[4pt]
&=\dfrac{-3}{12}=\dfrac{-1}{4}
\end{align*}

ヒロ

$\cos$ の値から鋭角・直角・鈍角を判定する問題。

余弦の符号から分かること$\cos\theta>0$ のとき，$\theta$ は鋭角である。
$\cos\theta=0$ のとき，$\theta$ は直角である。
$\cos\theta<0$ のとき，$\theta$ は鈍角である。

【エの解答】 $\cos\kaku{BAC}<0$ より，$\kaku{BAC}$ は鈍角である。$\myBox{エ}=②$

ヒロ

次は余弦の値から正弦の値を求める問題。

【オ～キの解答】 $\sin\kaku{BAC}>0$ より

\begin{align*}
\sin\kaku{BAC}&=\sqrt{1-\left(\dfrac{-1}{4}\right)^2} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{15}}{4}
\end{align*}

ヒロ

次の問題は図を描いて考えよう。

【点Dの位置を把握するための図】
$\cos\kaku{BAC}$ が分かっているため，ABかACを底辺にする。
また，辺ACの垂直二等分線を書くことを考えて，ACを底辺にして図を描く。
ABを描くときに，$\cos\kaku{BAC}=-\dfrac{1}{4}$ であることを意識して描く。
つまり，点Bから直線ACに下ろした垂線の足をHとすると，$\mathrm{AB}:\mathrm{AH}=4:1$ になるように図を描く。
日頃から正確に図を描くことを意識していると，こういうことが苦痛でなくなる。
このような考えで図を描くと，線分ACの垂直二等分線と直線ABの交点Dは次の位置にあることが分かる。