ここでは曲線上の点の軌跡について説明します。
大学入試でよく出題される問題としては，放物線の頂点の軌跡や円の中心の軌跡があります。
問題文に書かれた条件を数式で表して，軌跡を求められるようにしましょう。
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放物線の頂点の軌跡【日本福祉大】
2020年 日本福祉大放物線 $y=x^2+\dfrac{tx}{2}-\dfrac{t}{3}$ の頂点をQとする。$t$ がすべての実数値をとって変化するとき，点Qの軌跡の方程式を求めよ。
【考え方と解答】
$y=x^2+\dfrac{tx}{2}-\dfrac{t}{3}$ より
これを②に代入すると
$y=x^2+\dfrac{tx}{2}-\dfrac{t}{3}$ より
\begin{align*}
y&=\left(x+\dfrac{1}{4}t\right)^2-\dfrac{1}{16}t^2-\dfrac{1}{3}t
\end{align*}
点Qの座標を $(X,~Y)$ とするとy&=\left(x+\dfrac{1}{4}t\right)^2-\dfrac{1}{16}t^2-\dfrac{1}{3}t
\end{align*}
\begin{align*}
&X=-\dfrac{1}{4}t \cdots\cdots① \\[4pt]
&Y=-\dfrac{1}{16}t^2-\dfrac{1}{3}t \cdots\cdots②
\end{align*}
①より $t=-4X$&X=-\dfrac{1}{4}t \cdots\cdots① \\[4pt]
&Y=-\dfrac{1}{16}t^2-\dfrac{1}{3}t \cdots\cdots②
\end{align*}
これを②に代入すると
\begin{align*}
Y&=-\dfrac{1}{16}(-4X)^2-\dfrac{1}{3}(-4X) \\[4pt]
&=-X^2+\dfrac{4}{3}X
\end{align*}
$t$ がすべての実数値をとって変化するとき，$X$ もすべての実数値をとって変化するから，求める点Qの軌跡の方程式はY&=-\dfrac{1}{16}(-4X)^2-\dfrac{1}{3}(-4X) \\[4pt]
&=-X^2+\dfrac{4}{3}X
\end{align*}
\begin{align*}
y=-x^2+\dfrac{4}{3}x
\end{align*}
y=-x^2+\dfrac{4}{3}x
\end{align*}