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円の中心の軌跡【東京女子大】
2020年 東京女子大$xy$ 平面において，点$(3,~1)$ を通り $x$ 軸に接する円 $C$ の中心をPとする。
(1) 点Pの軌跡を求めよ。
(2) 円 $C$ がさらに $y$ 軸にも接するとき，点Pの座標を求めよ。
(1) 点Pの軌跡を求めよ。
(2) 円 $C$ がさらに $y$ 軸にも接するとき，点Pの座標を求めよ。
ヒロ
座標軸に接する円の方程式については，次の記事を参考にしよう。
【(1)の考え方と解答】
円 $C$ は点$(3,~1)$ を通り $x$ 軸に接するから，円の中心の $y$ 座標は正であり，$C$ の方程式は
円 $C$ は点$(3,~1)$ を通り $x$ 軸に接するから，円の中心の $y$ 座標は正であり，$C$ の方程式は
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-b)^2=b^2~(b>0)
\end{align*}
と表せる。これが点$(3,~1)$ を通るとき(x-a)^2+(y-b)^2=b^2~(b>0)
\end{align*}
\begin{align*}
(3-a)^2+(1-b)^2=b^2
\end{align*}
が成り立つから(3-a)^2+(1-b)^2=b^2
\end{align*}
\begin{align*}
&b^2-(b-1)^2=(a-3)^2 \\[4pt]&2b-1=(a-3)^2 \\[4pt]&b=\dfrac{1}{2}(a-3)^2+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
よって，点Pの軌跡は&b^2-(b-1)^2=(a-3)^2 \\[4pt]&2b-1=(a-3)^2 \\[4pt]&b=\dfrac{1}{2}(a-3)^2+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
放物線~y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
放物線~y=\dfrac{1}{2}(x-3)^2+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
(2) 円 $C$ がさらに $y$ 軸にも接するとき，点Pの座標を求めよ。
【(2)の考え方と解答】
円 $C$ の中心が第1象限にあることを考えると，$C$ がさらに $y$ 軸にも接するのは中心の $x$ 座標と $y$ 座標が等しいときである。すなわち，$a=b$ となるときであるから
円 $C$ の中心が第1象限にあることを考えると，$C$ がさらに $y$ 軸にも接するのは中心の $x$ 座標と $y$ 座標が等しいときである。すなわち，$a=b$ となるときであるから
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}(a-3)^2+\dfrac{1}{2}=a \\[4pt]&a^2-6a+9+1=2a \\[4pt]&a^2-8a+10=0 \\[4pt]&a=4\pm\sqrt{6}
\end{align*}
よって，求める点Pの座標は $(4\pm\sqrt{6},~4\pm\sqrt{6})$（複号同順）&\dfrac{1}{2}(a-3)^2+\dfrac{1}{2}=a \\[4pt]&a^2-6a+9+1=2a \\[4pt]&a^2-8a+10=0 \\[4pt]&a=4\pm\sqrt{6}
\end{align*}