【数学ⅡB】曲線上の点の軌跡【日本福祉大・東京女子大・明治薬科大】

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直線上の点の軌跡【明治薬科大】

2018年明治薬科大$a$ を定数とする。$xy$ 平面上の点A$(3,~2)$ と直線 $l:x+(2a-1)y-8a+3=0$ に対し，Aから $l$ に下ろした垂線をAPとする。ただし，$l$ がAを通る場合は $\text{A}=\text{P}$ とする。
$l$ は $a$ の値にかかわらず定点 $\myhako$ を通り，$a$ が変化するときPの軌跡は中心が $\myhako$ で半径が $\myhako$ の円（ただし，$\myhako$ を除く）となる。したがって，線分APの長さの最大値は $\myhako$ である。

【考え方と解答】
直線 $l:x+(2a-1)y-8a+3=0$ の方程式を $a$ の方程式とみて整理すると

\begin{align*}
(2y-8)a+x-y+3=0\cdots\cdots①
\end{align*}

となる。これが $a$ の値にかかわらず成り立つのは

\begin{align*}
\begin{cases}
2y-8=0 &\cdots\cdots② \\[4pt]
x-y+3=0 &\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}

が成り立つときである。②より，$y=4$
③に代入して $x$ を求めると，$x=1$
よって，$l$ は $a$ の値にかかわらず定点 $(1,~4)$ を通る。
次に点Pの軌跡を求める。点Pは点Aを通り直線 $l$ に垂直な直線（直線 $m$ とする）と直線 $l$ との交点である。直線 $n$ の方程式は

\begin{align*}
&(2a-1)(x-3)-(y-2)=0 \\[4pt]
&(2a-1)x-y-6a+5=0 \\[4pt]
&(2x-6)a-x-y+5=0~\cdots\cdots④
\end{align*}

点Pの座標を求めるのが「主な目的」ではなく，点Pの軌跡を求めることが主な目的であるから，①と④から $a$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を導こう。
$①\times(x-3)-④\times(y-4)$ より

\begin{align*}
&(x-y+3)(x-3)+(x+y-5)(y-4)=0 \\[4pt]
&x^2+y^2-4x-6y+11=0 \\[4pt]
&(x-2)^2+(y-3)^2=2
\end{align*}

この結果から，点Pは点$(2,~3)$ を中心とし，半径 $\sqrt{2}$ の円を描くことが分かる。しかし，解答を埋める空欄からも分かるように，点Pはこの円周上の点すべてを通るわけではないことが分かる。
　点Pが存在しないのは「点Aから直線 $l$ に垂線を下ろせない場合」であり，次の2つの場合が考えられる。

点Aから直線 $l$ 上にある
直線 $l$ が存在しない

まず，点Aから直線 $l$ 上にあるときは，点Aを点Pとすると問題文に書かれている。次に直線 $l$ の方程式をもう一度確認すると

\begin{align*}
x+(2a-1)y-8a+3=0
\end{align*}

となっているから，$x$ 軸に平行な直線を表せないことに気付く。直線 $l$ が定点$(1,~4)$ を通ることを考えると，直線 $l$ は直線 $y=4$ を表すことができない。点A$(3,~2)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線の方程式は $x=3$ であるから，点Pは $(3,~4)$ と一致することはない。