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極限を微分係数で表す有名な入試問題とその解法

極限を微分係数で表す有名な大学入試問題数学III
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極限値を微分係数で表す有名問題とその考え方や解法について説明します。

まず関数が微分可能であるとはどういうことかを理解しましょう。
また,1つの方法だけでなく複数の解法を知って,様々な考え方を身に付けることが重要です。

この記事を読むことで,今まで解けなかった人が解けるようになることを願います。

この記事で扱う問題は次の通りです。

有名問題 $f(x)$ が微分可能な関数であるとき,次の式を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表せ。
(1) $\dlim{x\to0}\dfrac{f(a+3x)-f(a+x)}{x}$
(2) $\dlim{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$
(3) $\dlim{x\to a}\dfrac{x^nf(a)-a^nf(x)}{x-a}$
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微分可能な関数とは

ヒロ
ヒロ

まず,条件で与えられている「$f(x)$ が微分可能な関数である」を理解しよう。

微分可能な関数関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとき,
\begin{align*}
\dlim{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{align*}
が存在する。この極限は,$h=x-a$ とおくことで,次のように表すこともできる。
\begin{align*}
\dlim{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}
\end{align*}

(1)の考え方と解答

(1) $\dlim{x\to0}\dfrac{f(a+3x)-f(a+x)}{x}$ を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表せ。

ヒロ
ヒロ

(1)の式の表し方は苦手な人が多いかもしれない。

【混乱する原因】
 今回の問題では,$f'(a)$ が存在するから
\begin{align*}
f'(a)=\dlim{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}~\cdots\cdots①
\end{align*}
とか
\begin{align*}
f'(a)=\dlim{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}~\cdots\cdots②
\end{align*}
を考えるが,①と②のどちらの形でもない。
 今回は①の $h$ を $x$ にした式,つまり
\begin{align*}
f'(a)=\dlim{x\to0}\dfrac{f(a+x)-f(a)}{x}
\end{align*}
を考えよう。見慣れている $h$ が $x$ になっているから考えにくいということ。また,$x$ の部分は次のように $\bigcirc$ と見ることができるようにしておこう。
\begin{align*}
f'(a)=\dlim{x\to\bigcirc}\dfrac{f(a+\bigcirc)-f(a)}{\bigcirc}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

あとはこの形を作るように変形していこう。

【(1)の考え方と解答】
\begin{align*}
(与式)&=\dlim{x\to0}\dfrac{f(a+3x)-f(a+x)}{x} \\[4pt]
&=\dlim{x\to0}\left\{\dfrac{f(a+3x)-f(a)}{3x}\Cdota3-\dfrac{f(a+x)-f(a)}{x}\right\}
\end{align*}
最初は $3x$ を見て,とにかく第1項を書こう。その際,元の式の分母は3だから3をかけておくことに注意する。後ろの部分は元の式と一致するように書いておけばよい。今回の場合は,後ろの部分がそのまま $f'(a)$ になる形だから「解けた」と思う状態になるはず。
 解答の続きは次のようになる。
\begin{align*}
(与式)=3f'(a)-f'(a)=2f'(a)
\end{align*}

(2)の考え方と解答

(2) $\dlim{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$ を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表せ。

ヒロ
ヒロ

(1)と同じようにして変形しよう。

【(2)の考え方と解答】
(2)では
\begin{align*}
f'(a)=\dlim{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}
\end{align*}
の形を作ることを考えて変形していこう。このとき $x^2$ が邪魔なのと,このままの形では不定形のため,分子にも $x-a$ を含む式がこないといけない。$x$ の2次式で $x-a$ を含む式だから,$x^2-a^2$ を考えよう。
ここで「そんなの思い付かない!」と言っている人は要注意。「思い付かないから教えてるんだ!」と言いたい。中には教えられなくても自分で解ける人もいるのだろうが,そんな天才は放っておけばよい。ほとんどの人は自力では思いつかない変形だと思うから,どのようにしてその変形をするのかという着眼点と変形方法をセットにして,身に付けるようにしよう。
【考え方と解答の続き】
ということで,無理やり $x^2$ を $x^2-a^2$ に書き換える。
\begin{align*}
(与式)&=\dlim{x\to a}\left\{\dfrac{(x^2-a^2)f(a)}{x-a}+\dfrac{a^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}\right\}
\end{align*}
第1項を書いた後,元の式と一致するように第2項を書いている。続いて変形していこう。
\begin{align*}
(与式)&=\dlim{x\to a}\left\{(x+a)f(a)-a^2\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\} \\[4pt]
&=2af(a)-a^2f'(a)
\end{align*}

(3)の考え方と解答

(3) $\dlim{x\to a}\dfrac{x^nf(a)-a^nf(x)}{x-a}$ を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表せ。

ヒロ
ヒロ

(2)の変形ができるようになれば,(3)でも同じようにできるようになるはず。

【(3)の解答】
\begin{align*}
(与式)&=\dlim{x\to a}\dfrac{x^nf(a)-a^nf(x)}{x-a} \\[4pt]
&=\dlim{x\to a}\left\{\dfrac{x^n-a^n}{x-a}f(a)-a^n\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\} \\[4pt]
&=\dlim{x\to a}\left\{(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x^{n-3}+\cdots+a^{n-1})f(a)-a^n\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\} \\[4pt]
&=na^{n-1}f(a)-a^nf'(a)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この解答では,$(x^n-a^n)\div(x-a)$ を暗算でできるかどうかがポイントとなるね。

ヒロ
ヒロ

割り算を暗算でできない人は,次の記事を読んで暗算でできるようにするのをオススメする。

(1)の別解

(1) $\dlim{x\to0}\dfrac{f(a+3x)-f(a+x)}{x}$ を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表せ。

ヒロ
ヒロ

「変形できるようにしなさい」と厳しく言うのも良いが,変形できるまでに時間がかかる人もいるだろう。

ヒロ
ヒロ

それにみんながみんな同じ解き方ではつまらない。

ヒロ
ヒロ

ということで,別解を紹介しておく。

【(1)の別解】
$F(x)=f(a+3x)-f(a+x)$ とおくと,$F(0)=0$ だから
\begin{align*}
(与式)=\dlim{x\to0}\dfrac{F(x)-F(0)}{x-0}=F'(0)
\end{align*}
$F'(x)=3f'(a+3x)-f'(a+x)$ より,
\begin{align*}
(与式)=3f'(a)-f'(a)=2f'(a)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この方法なら誰でもすぐ身に付けられるだろう。

(2)の別解

(2) $\dlim{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$ を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表せ。

ヒロ
ヒロ

(1)と同じように分子を $F(x)$ とおいてサクッと解こう。

【(2)の別解】
$F(x)=x^2f(a)-a^2f(x)$ とおくと,$F(a)=0$ だから
\begin{align*}
(与式)=\dlim{x\to a}\dfrac{F(x)-F(a)}{x-a}=F'(a)
\end{align*}
$F'(x)=2xf(a)-a^2f'(x)$ より,
\begin{align*}
(与式)=2af(a)-a^2f'(a)
\end{align*}

(3)の別解

(3) $\dlim{x\to a}\dfrac{x^nf(a)-a^nf(x)}{x-a}$ を $a$, $f(a)$, $f'(a)$ を用いて表せ。

ヒロ
ヒロ

最後の(3)も同じように解くと,次のようになる。

【(3)の別解】
$F(x)=x^nf(a)-a^nf(x)$ とおくと,$F(a)=0$ だから
\begin{align*}
(与式)=\dlim{x\to a}\dfrac{F(x)-F(a)}{x-a}=F'(a)
\end{align*}
$F'(x)=nx^{n-1}f(a)-a^nf'(x)$ より,
\begin{align*}
(与式)=na^{n-1}f(a)-a^nf'(a)
\end{align*}
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