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1997年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面

1997年センター数学ⅡB 複素数平面数学III
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1997年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

1997年 センターⅡB 第1問 複素数平面 複素数平面上で $\alpha=1+i,~\beta=4+5i$ の表す点を,それぞれA,~Bとする。
(1) このとき,$\beta-\alpha$ の絶対値は $\myBox{ア}$ である。
$\beta-\alpha$の表す点を原点Oを中心に $90\Deg$ 回転すると,
その点を表す複素数は
\begin{align*}
-\myBox{イ}+\myBox{ウ}\,i
\end{align*}
である。
(2) 線分ABの中点を表す複素数は
\begin{align*}
\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}+\myBox{カ}\,i
\end{align*}
である。
(3) 複素数 $\gamma=x+2i$(ただし,$x$ は実数)の表す点をPとする。このとき
\begin{align*}
\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}
=\dfrac{\left(x^2-\myBox{キ}\,x+\myBox{ク}\right)
+\left(\myBox{ケ}-\myBox{コ}\,x\right)i}{x^2-\myBox{サ}\,x+\myBox{シ}}
\end{align*}
となる。
 PがABを直径とする円周上にあるのは
\begin{align*}
x=\dfrac{\myBox{ス}\pm\sqrt{\myBox{セソ}}}{\myBox{タ}}
\end{align*}
のときである。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

最初は複素数の絶対値を求める問題。

ヒロ
ヒロ

複素数の絶対値は複素数平面上で原点Oからの距離を表すんだったね。

複素数の絶対値複素数 $\alpha=x+yi$($x,~y$ は実数)の絶対値は
\begin{align*}
\abs{\alpha}=\sqrt{x^2+y^2}
\end{align*}
である。
【アの解答】
\begin{align*}
\beta-\alpha&=(4+5i)-(1+i) \\[4pt]
&=3+4i
\end{align*}
であるから,$\abs{\beta-\alpha}=5$
ヒロ
ヒロ

わざわざ $\sqrt{3^2+4^2}$ を計算するまでもなく,$3:4:5$ の直角三角形が出てくるようにしておこう。

ヒロ
ヒロ

次は複素数平面上での回転の問題。

複素数平面上での回転複素数 $\alpha$ の表す点を原点を中心に $\theta$ だけ回転した点を表す複素数を $\beta$ とすると
\begin{align*}
\beta=\alpha(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{align*}
となる。特に回転角が $90\Deg$ のときは $i$ をかけるだけで良い。
【イウの解答】
$\beta-\alpha$ の表す点を原点Oを中心に $90\Deg$ 回転した点を表す複素数は
\begin{align*}
(\beta-\alpha)i&=(3+4i)i \\[4pt]
&=-4+3i
\end{align*}

(2)の解答

(2) 線分ABの中点を表す複素数は

\begin{align*}
\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}+\myBox{カ}\,i
\end{align*}
である。

ヒロ
ヒロ

中点を表す複素数を求める問題。ベクトルと同じように考えれば大丈夫だね。

【エ~カの解答】
線分ABの中点を表す複素数は
\begin{align*}
\dfrac{\alpha+\beta}{2}&=\dfrac{(1+i)+(4+5i)}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{5}{2}+3i
\end{align*}

(3)の解答

(3) 複素数 $\gamma=x+2i$(ただし,$x$ は実数)の表す点をPとする。このとき

\begin{align*}
\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}
=\dfrac{\left(x^2-\myBox{キ}\,x+\myBox{ク}\right)
+\left(\myBox{ケ}-\myBox{コ}\,x\right)i}{x^2-\myBox{サ}\,x+\myBox{シ}}
\end{align*}
となる。
 PがABを直径とする円周上にあるのは
\begin{align*}
x=\dfrac{\myBox{ス}\pm\sqrt{\myBox{セソ}}}{\myBox{タ}}
\end{align*}
のときである。

ヒロ
ヒロ

次は分母の実数化の問題だね。

複素数の分母の実数化複素数 $\alpha=\dfrac{1}{x+yi}$($x,~y$ は実数) の分母を実数化するときは,分母分子に $x-yi$ をかけて変形する。
\begin{align*}
\alpha&=\dfrac{x-yi}{(x+yi)(x-yi)} \\[4pt]
&=\dfrac{x-yi}{x^2+y^2}
\end{align*}
【キ~シの解答】
\begin{align*}
\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}&=\dfrac{(4+5i)-(x+2i)}{(1+i)-(x+2i)} \\[4pt]
&=\dfrac{(-x+4)+3i}{(1-x)-i} \\[4pt]
&=\dfrac{(-x+4+3i)(1-x+i)}{(1-x-i)(1-x+i)} \\[4pt]
&=\dfrac{(x-4)(x-1)-3+(-x+4+3-3x)i}{(1-x)^2+1} \\[4pt]
&=\dfrac{(x^2-5x+1)+(7-4x)i}{x^2-2x+2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は点Pが円周上にあるときの $x$ の値を求める問題。

【情報の整理】
 点Pを表す複素数が $\gamma$ で,$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ を計算している。つまり,$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ を計算したことと,点PがABを直径とする円周上にあることの関連性を考えなければならない。
 ややこしい問題を考えるときは,「文章」で表されている事柄を数式で表すことを最初に考えよう。
 今回の場合は「点PがABを直径とする円周上にある」ということを数式で表すことを考える。$\sankaku{PAB}$ を考えると $\kaku{APB}=90\Deg$ の直角三角形であることに気付く。
 つまり,$\Vec{PB}$ は $\Vec{PA}$ を点Pを中心に $90\Deg$ または $-90\Deg$ だけ回転・拡大したものだということが分かる。
 ここまでくれば,$\beta-\gamma$ は0でない実数 $k$ を用いて次のように表せることが見えてくるはず。
\begin{align*}
&\beta-\gamma=(\alpha-\gamma)\times(\pm ki) \\[4pt]
&\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}=\pm ki
\end{align*}
つまり,$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ が純虚数であれば良いということが分かる。
【ス~タの解答】
点PがABを直径とする円周上にあるとき,$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ は純虚数であるから,
\begin{align*}
&x^2-5x+1=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

記述式なら,このときに虚部が0でないことも書いておこう。

1997年 センター数学ⅡB 複素数平面を解いた感想

ヒロ
ヒロ

複素数の絶対値や簡単な回転・中点を表す複素数などの基本を復習することができる。

ヒロ
ヒロ

また,ある点がある線分を直径とする円周上にあるための条件については,しっかり理解しておこう。

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