1997年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面

1997年センター試験数学ⅡB 第1問複素数平面の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

1997年センターⅡB 第1問複素数平面　複素数平面上で $\alpha=1+i,~\beta=4+5i$ の表す点を，それぞれA,~Bとする。
(1) このとき，$\beta-\alpha$ の絶対値は $\myBox{ア}$ である。
$\beta-\alpha$の表す点を原点Oを中心に $90\Deg$ 回転すると，
その点を表す複素数は

\begin{align*}
-\myBox{イ}+\myBox{ウ}\,i
\end{align*}

である。
(2) 線分ABの中点を表す複素数は

\begin{align*}
\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}+\myBox{カ}\,i
\end{align*}

である。
(3) 複素数 $\gamma=x+2i$（ただし，$x$ は実数）の表す点をPとする。このとき

\begin{align*}
\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}
=\dfrac{\left(x^2-\myBox{キ}\,x+\myBox{ク}\right)
+\left(\myBox{ケ}-\myBox{コ}\,x\right)i}{x^2-\myBox{サ}\,x+\myBox{シ}}
\end{align*}

となる。
　PがABを直径とする円周上にあるのは

\begin{align*}
x=\dfrac{\myBox{ス}\pm\sqrt{\myBox{セソ}}}{\myBox{タ}}
\end{align*}

のときである。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 1997年センター数学ⅡB 複素数平面を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

最初は複素数の絶対値を求める問題。

ヒロ

複素数の絶対値は複素数平面上で原点Oからの距離を表すんだったね。

複素数の絶対値複素数 $\alpha=x+yi$（$x,~y$ は実数）の絶対値は

\begin{align*}
\abs{\alpha}=\sqrt{x^2+y^2}
\end{align*}

である。

【アの解答】

\begin{align*}
\beta-\alpha&=(4+5i)-(1+i) \\[4pt]
&=3+4i
\end{align*}

であるから，$\abs{\beta-\alpha}=5$

ヒロ

わざわざ $\sqrt{3^2+4^2}$ を計算するまでもなく，$3:4:5$ の直角三角形が出てくるようにしておこう。

ヒロ

次は複素数平面上での回転の問題。

複素数平面上での回転複素数 $\alpha$ の表す点を原点を中心に $\theta$ だけ回転した点を表す複素数を $\beta$ とすると

\begin{align*}
\beta=\alpha(\cos\theta+i\sin\theta)
\end{align*}

となる。特に回転角が $90\Deg$ のときは $i$ をかけるだけで良い。

【イウの解答】
$\beta-\alpha$ の表す点を原点Oを中心に $90\Deg$ 回転した点を表す複素数は

\begin{align*}
(\beta-\alpha)i&=(3+4i)i \\[4pt]
&=-4+3i
\end{align*}

(2)の解答

(2) 線分ABの中点を表す複素数は
\begin{align*}
\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}+\myBox{カ}\,i
\end{align*}
である。

ヒロ

中点を表す複素数を求める問題。ベクトルと同じように考えれば大丈夫だね。

【エ～カの解答】
線分ABの中点を表す複素数は

\begin{align*}
\dfrac{\alpha+\beta}{2}&=\dfrac{(1+i)+(4+5i)}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{5}{2}+3i
\end{align*}

(3)の解答

(3) 複素数 $\gamma=x+2i$（ただし，$x$ は実数）の表す点をPとする。このとき
\begin{align*}
\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}
=\dfrac{\left(x^2-\myBox{キ}\,x+\myBox{ク}\right)
+\left(\myBox{ケ}-\myBox{コ}\,x\right)i}{x^2-\myBox{サ}\,x+\myBox{シ}}
\end{align*}
となる。
　PがABを直径とする円周上にあるのは
\begin{align*}
x=\dfrac{\myBox{ス}\pm\sqrt{\myBox{セソ}}}{\myBox{タ}}
\end{align*}
のときである。

ヒロ

次は分母の実数化の問題だね。

複素数の分母の実数化複素数 $\alpha=\dfrac{1}{x+yi}$（$x,~y$ は実数）の分母を実数化するときは，分母分子に $x-yi$ をかけて変形する。

\begin{align*}
\alpha&=\dfrac{x-yi}{(x+yi)(x-yi)} \\[4pt]
&=\dfrac{x-yi}{x^2+y^2}
\end{align*}

【キ～シの解答】

\begin{align*}
\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}&=\dfrac{(4+5i)-(x+2i)}{(1+i)-(x+2i)} \\[4pt]
&=\dfrac{(-x+4)+3i}{(1-x)-i} \\[4pt]
&=\dfrac{(-x+4+3i)(1-x+i)}{(1-x-i)(1-x+i)} \\[4pt]
&=\dfrac{(x-4)(x-1)-3+(-x+4+3-3x)i}{(1-x)^2+1} \\[4pt]
&=\dfrac{(x^2-5x+1)+(7-4x)i}{x^2-2x+2}
\end{align*}

ヒロ

最後は点Pが円周上にあるときの $x$ の値を求める問題。

【情報の整理】
　点Pを表す複素数が $\gamma$ で，$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ を計算している。つまり，$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ を計算したことと，点PがABを直径とする円周上にあることの関連性を考えなければならない。
　ややこしい問題を考えるときは，「文章」で表されている事柄を数式で表すことを最初に考えよう。
　今回の場合は「点PがABを直径とする円周上にある」ということを数式で表すことを考える。$\sankaku{PAB}$ を考えると $\kaku{APB}=90\Deg$ の直角三角形であることに気付く。
　つまり，$\Vec{PB}$ は $\Vec{PA}$ を点Pを中心に $90\Deg$ または $-90\Deg$ だけ回転・拡大したものだということが分かる。
　ここまでくれば，$\beta-\gamma$ は0でない実数 $k$ を用いて次のように表せることが見えてくるはず。

\begin{align*}
&\beta-\gamma=(\alpha-\gamma)\times(\pm ki) \\[4pt]
&\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}=\pm ki
\end{align*}

つまり，$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ が純虚数であれば良いということが分かる。

【ス～タの解答】
点PがABを直径とする円周上にあるとき，$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}$ は純虚数であるから，

\begin{align*}
&x^2-5x+1=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}
\end{align*}