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恒等式の未定係数を決定する問題2
2019年 立教大等式
\begin{align*}
2ax(3x+8)+3bx(x+2)-3(3x+8)(x+2)=18x^2-12x-48
\end{align*}
が $x$ についての恒等式となるように定数 $a,~b$ を定めると，$a=\myhako$, $b=\myhako$ である。2ax(3x+8)+3bx(x+2)-3(3x+8)(x+2)=18x^2-12x-48
\end{align*}
【考え方と解答】
次数が高くなっても考え方は同じである。与えられた等式が恒等式になるのは，左辺を展開して整理すると，$18x^2-12x-48$ になるときである。
次数が高くなっても考え方は同じである。与えられた等式が恒等式になるのは，左辺を展開して整理すると，$18x^2-12x-48$ になるときである。
\begin{align*}
（左辺）&=(6a+3b-9)x^2+(16a+6b-42)x-48
\end{align*}
であるから（左辺）&=(6a+3b-9)x^2+(16a+6b-42)x-48
\end{align*}
\begin{align*}
&\begin{cases}
6a+3b-9=18 \\[4pt]
16a+6b-42=-12
\end{cases} \\[4pt]
&\begin{cases}
2a+b=9 \\[4pt]
8a+3b=15
\end{cases}
\end{align*}
これを解いて，$a=-6,~b=21$&\begin{cases}
6a+3b-9=18 \\[4pt]
16a+6b-42=-12
\end{cases} \\[4pt]
&\begin{cases}
2a+b=9 \\[4pt]
8a+3b=15
\end{cases}
\end{align*}
恒等式の未定係数を決定する問題3
2004年 長崎総合科学大
\begin{align*}
x^3-3=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d
\end{align*}
が $x$ についての恒等式になるように定数 $a,~b,~c,~d$ の値を求めよ。x^3-3=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d
\end{align*}
【考え方と解答】
右辺を展開して係数を比較しても良いけど，面倒なので少し工夫する。「同じカタマリがあれば，それを文字でおく」という基本に沿って考えると，$x-1=t$ とおいてみようということになるはず。
$x-1=t$ とおくと，与えられた等式は
右辺を展開して係数を比較しても良いけど，面倒なので少し工夫する。「同じカタマリがあれば，それを文字でおく」という基本に沿って考えると，$x-1=t$ とおいてみようということになるはず。
$x-1=t$ とおくと，与えられた等式は
\begin{align*}
(t+1)^3-3=at^3+bt^2+ct+d~\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。元の等式が $x$ についての恒等式であるとき，①は $t$ についての恒等式になる。(t+1)^3-3=at^3+bt^2+ct+d~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
（左辺）=t^3+3t^2+3t-2
\end{align*}
であるから，求める定数の値は（左辺）=t^3+3t^2+3t-2
\end{align*}
\begin{align*}
a=1,~b=3,~c=3,~d=-2
\end{align*}
a=1,~b=3,~c=3,~d=-2
\end{align*}