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2017年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数

2017年 センター数学ⅠA 二次関数数学IAIIB
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2017年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年 センターⅠA 第1問 二次関数 $a$ を定数とし,
$\displaystyle
g(x)=x^{2}-2(3a^{2}+5a)x+18a^{4}+30a^{3}+49a^{2}+16
$
とおく。2次関数 $y=g(x)$ のグラフの頂点は
\begin{align*}
\left(\myBox{セ}\,a^2+\myBox{ソ}\,a,~\myBox{タ}\,a^4+\myBox{チツ}\,a^2+\myBox{テト}\right)
\end{align*}
である。
 $a$ が実数全体を動くとき,頂点の $x$ 座標の最小値は $-\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。次に,$t=a^2$ とおくと,頂点の $y$ 座標は
\begin{align*}
\mybox{タ}\,a^4+\mybox{チツ}\,a^2+\mybox{テト}
\end{align*}
と表せる。したがっで $a$ が実数全体を動くとき,頂点の $y$ 座標の最小値は $\myBox{ノハ}$ である。
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考え方と解答

ヒロ
ヒロ

まずは頂点の座標を求める問題。

【セ~トの解答】
頂点の $x$ 座標は $3a^2+5a$ である。判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}&=(3a^2+5a)^2-(18a^4+30a^3+49a^2+16) \\[4pt]
&=-9a^4-24a^2-16
\end{align*}
であるから,頂点の $y$ 座標は
\begin{align*}
y&=-\dfrac{D}{4} \\[4pt]
&=9a^4+24a^2+16
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は $x$ を $a$ の関数とみて最小値を求める問題。

【ナ~ネの解答】
\begin{align*}
x&=3a^2+5a \\[4pt]
&=3\left(a+\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{25}{12}
\end{align*}
よって,求める最小値は $-\dfrac{25}{12}$ である。
ヒロ
ヒロ

最後は $y$ を $t$ の関数と見て最小値を求める問題。$t\geqq0$ であることに注意しよう。

【ノハの解答】
\begin{align*}
y&=9t^2+24t+16 \\[4pt]
&=(3t+4)^2
\end{align*}
$t\geqq0$ より,$t=0$ のとき $y$ は最小値16をとる。

2017年 センター数学ⅠA 二次関数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

二次関数の定数項が $a$ の4次式という見た目に圧倒されないようにしよう。

ヒロ
ヒロ

判別式を利用する方法で頂点を求めることで,記述量が少なくなるので,速く解けるだろう。

ヒロ
ヒロ

最後の問題では,$t$ が0以上であることを意識していないとパニックになる恐れがある。

ヒロ
ヒロ

$t=a^2$ というように変数変換したときは,新しい文字の定義域を確認するようにしよう。

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