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2016年 金沢工業大
2016年 金沢工業大関数 $y=f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-2$ だけ，$y$ 軸方向に5だけ平行移動したグラフは，関数 $y=3^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称である。このとき，もとの関数は
\begin{align*}
y=\log_{\myhako}\left(x-\myhako\right)-\myhako
\end{align*}
である。y=\log_{\myhako}\left(x-\myhako\right)-\myhako
\end{align*}
【考え方と解答】
グラフが $y=3^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称になる関数は $y=\log_3x$ である。この関数を $x$ 軸方向に2だけ，$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフが元の $y=f(x)$ のグラフであるから
グラフが $y=3^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称になる関数は $y=\log_3x$ である。この関数を $x$ 軸方向に2だけ，$y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフが元の $y=f(x)$ のグラフであるから
\begin{align*}
f(x)=\log_3(x-2)-5
\end{align*}
f(x)=\log_3(x-2)-5
\end{align*}
2010年 立命館大
2010年 立命館大関数 $y=\log_4x~\cdots\cdots①$ のグラフを $\myhako$ 軸方向に $\myhako$ だけ平行移動したグラフの方程式は $y=\log_416x$ である。
また，関数①のグラフを $x$ 軸方向に $\myhako$，$y$ 軸方向に $\myhako$ だけ平行移動したグラフの方程式は $y=\log_4\dfrac{x+2}{64}$ である。
また，関数①のグラフを $x$ 軸方向に $\myhako$，$y$ 軸方向に $\myhako$ だけ平行移動したグラフの方程式は $y=\log_4\dfrac{x+2}{64}$ である。
【考え方と解答】
$\log_416x=\log_4x+2$ であるから，$y=\log_416x$ は，①のグラフを $\textcolor{red}{y}$ 軸方向に $\textcolor{red}{2}$ だけ平行移動したグラフの方程式である。
$\log_4\dfrac{x+2}{64}=\log_4(x+2)-3$ であるから，これは①のグラフを $x$ 軸方向に $\textcolor{red}{-2}$，$y$ 軸方向に $\textcolor{red}{-3}$ だけ平行移動したグラフの方程式である。
$\log_416x=\log_4x+2$ であるから，$y=\log_416x$ は，①のグラフを $\textcolor{red}{y}$ 軸方向に $\textcolor{red}{2}$ だけ平行移動したグラフの方程式である。
$\log_4\dfrac{x+2}{64}=\log_4(x+2)-3$ であるから，これは①のグラフを $x$ 軸方向に $\textcolor{red}{-2}$，$y$ 軸方向に $\textcolor{red}{-3}$ だけ平行移動したグラフの方程式である。
2011年 早稲田大
2011年 早稲田大関数 $y=\log_4x$ 上に，その $x$ 座標を，それぞれ，$\dfrac{1}{2}t$，$t$，$2t~(t>0)$ とする3点P，Q，Rをとる。このとき，PとRの距離は $\myhako$ であり，$\sankaku{PQR}$ の面積は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
2点P，Rの座標を求めて「2点間の距離の公式」を利用しよう。
2点P，Rの座標は
2点P，Rの座標を求めて「2点間の距離の公式」を利用しよう。
2点P，Rの座標は
\begin{align*}
&\text{P}\left(\dfrac{1}{2}t,~\log_4\dfrac{1}{2}t\right) \\[4pt]
&\text{R}(2t,~\log_42t)
\end{align*}
となるから&\text{P}\left(\dfrac{1}{2}t,~\log_4\dfrac{1}{2}t\right) \\[4pt]
&\text{R}(2t,~\log_42t)
\end{align*}
\begin{align*}
\text{PR}^2&=\left(2t-\dfrac{1}{2}t\right)^2+\left(\log_42t-\log_4\dfrac{1}{2}t\right)^2 \\[4pt]
&=\left(\dfrac{3}{2}t\right)^2+\left(\log_4\dfrac{2t}{\dfrac{1}{2}t}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{4}t^2+(\log_44)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{4}t^2+1
\end{align*}
$\text{PR}>0$ より，\text{PR}^2&=\left(2t-\dfrac{1}{2}t\right)^2+\left(\log_42t-\log_4\dfrac{1}{2}t\right)^2 \\[4pt]
&=\left(\dfrac{3}{2}t\right)^2+\left(\log_4\dfrac{2t}{\dfrac{1}{2}t}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{4}t^2+(\log_44)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{4}t^2+1
\end{align*}
\begin{align*}
\text{PR}&=\sqrt{\dfrac{9}{4}t^2+1} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\sqrt{9t^2+4}
\end{align*}
$\sankaku{PQR}$ の面積を求めるために，直線PRと点Qの距離 $h$ を求める。直線PRの傾きは\text{PR}&=\sqrt{\dfrac{9}{4}t^2+1} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\sqrt{9t^2+4}
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{\log_42t-\log_4\dfrac{1}{2}t}{2t-\dfrac{1}{2}t} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_4\dfrac{2t}{\dfrac{1}{2}t}}{\dfrac{3}{2}t} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3t}\log_44=\dfrac{2}{3t}
\end{align*}
であるから直線PRの方程式は次のようになる。&\dfrac{\log_42t-\log_4\dfrac{1}{2}t}{2t-\dfrac{1}{2}t} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_4\dfrac{2t}{\dfrac{1}{2}t}}{\dfrac{3}{2}t} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3t}\log_44=\dfrac{2}{3t}
\end{align*}
\begin{align*}
&y=\dfrac{2}{3t}(x-2t)+\log_42t \\[4pt]
&3ty=2x-4t+3t\log_42t \\[4pt]
&2x-3ty+3t\log_42t-4t=0
\end{align*}
よって，点Qと直線PRの距離 $h$ は&y=\dfrac{2}{3t}(x-2t)+\log_42t \\[4pt]
&3ty=2x-4t+3t\log_42t \\[4pt]
&2x-3ty+3t\log_42t-4t=0
\end{align*}
\begin{align*}
h&=\dfrac{\abs{2t-3t\log_4t+3t\log_42t-4t}}{\sqrt{4+9t^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\abs{3t\log_42-2t}}{\sqrt{4+9t^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{t\abs{\log_48-2}}{\sqrt{9t^2+4}} \\[4pt]
&=\dfrac{t\abs{\dfrac{3}{2}-2}}{\sqrt{9t^2+4}} \\[4pt]
&=\dfrac{t}{2\sqrt{9t^2+4}}
\end{align*}
したがって，$\sankaku{PQR}$ の面積 $S$ は次のようになる。h&=\dfrac{\abs{2t-3t\log_4t+3t\log_42t-4t}}{\sqrt{4+9t^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\abs{3t\log_42-2t}}{\sqrt{4+9t^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{t\abs{\log_48-2}}{\sqrt{9t^2+4}} \\[4pt]
&=\dfrac{t\abs{\dfrac{3}{2}-2}}{\sqrt{9t^2+4}} \\[4pt]
&=\dfrac{t}{2\sqrt{9t^2+4}}
\end{align*}
\begin{align*}
S&=\dfrac{1}{2}\Cdota\text{PR}\Cdota h \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{1}{2}\sqrt{9t^2+4}\Cdota\dfrac{t}{2\sqrt{9t^2+4}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{8}t
\end{align*}
S&=\dfrac{1}{2}\Cdota\text{PR}\Cdota h \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{1}{2}\sqrt{9t^2+4}\Cdota\dfrac{t}{2\sqrt{9t^2+4}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{8}t
\end{align*}
ヒロ
3点の座標から三角形の面積を求める公式を利用しても良いだろう。
