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【数学IA】表を用いて場合の数を求めよう

表を利用して場合の数を求める数学IAIIB
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ここでは表を用いて場合の数を求める方法を説明します。

表と樹形図では,樹形図を利用する機会の方が多いと思います。

しかし,2つのさいころを投げたときの目に関する問題などでは,表を書くことで条件を満たす場合の数を簡単に求めることができます。

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表を利用して場合の数を求める問題

ヒロ
ヒロ

実際に定期テストで出題された問題で表の使い方に慣れよう。

問題大小2個のさいころを投げるとき,次の場合は何通りあるか。
(1) 目の和が4または7
(2) 目の和が4以下
(3) 目の積が8の倍数
ヒロ
ヒロ

さいころの大きさに違いがあることに注意しよう。

【区別するさいころ】
2つのさいころの目の組み合わせが1と2だとしても
\begin{align*}
(大,~小)=(1,~2),~(2,~1)
\end{align*}
の2通りがある。2つのさいころの目が異なる場合は,常に入れ換えた場合が存在するということである。
2つのさいころの目が等しい場合は,入れ換えたものを別の場合にはしないことも注意しよう。つまり大小2個のさいころを投げる場合は $6\times6$ の36マスの表を書いて考えると,もれなく重複なく数えることができる。
【(1)の考え方と解答】
36マスの表に2つのさいころの目の和を書き込むと次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & 2 & 3 & {\color{red}4} & 5 & 6 & {\color{red}7} \\
\hline
2 & 3 & {\color{red}4} & 5 & 6 & {\color{red}7} & 8 \\
\hline
3 & {\color{red}4} & 5 & 6 & {\color{red}7} & 8 & 9 \\
\hline
4 & 5 & 6 & {\color{red}7} & 8 & 9 & 10 \\
\hline
5 & 6 & {\color{red}7} & 8 & 9 & 10 & 11 \\
\hline
6 & {\color{red}7} & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
\end{array}
\end{align*}
赤字の部分が4または7であるから,目の和が4または7になるのは9通りである。
ヒロ
ヒロ

ここで,2つのさいころの目の和については,次の記事でも説明している表を使うのが速い。

【再掲載】

\begin{align*}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 目の和 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\\hline 場合の数 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\\hline\end{array}\end{align*}

ヒロ
ヒロ

この表を利用すると,$3+6=9$ と求めることができる。

(2) 目の和が4以下

【(2)の解答】
表で目の和が4以下の部分を見て
\begin{align*}
1+2+3=6~通り
\end{align*}

(3) 目の積が8の倍数

【(3)の考え方と解答】
36マスの表に2つのさいころの目の積を書き込むと次のようになる。
\begin{align*}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline
1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline
2 & 2 & 4 & 6 & {\color{red}8} & 10 & 12 \\\hline
3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 \\\hline
4 & 4 & {\color{red}8} & 12 & {\color{red}16} & 20 & {\color{red}24} \\\hline
5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 \\\hline
6 & 6 & 12 & 18 & {\color{red}24} & 30 & 36 \\\hline
\end{array}
\end{align*}
赤字の部分が8の倍数であるから,目の積が8の倍数になるのは,5通りである。
ヒロ
ヒロ

今回の(3)では具体的に書きだした方が速いだろう。

ヒロ
ヒロ

36マスの表を利用するなら,目の積の値を書き込まずに,8の倍数になるマスに○印をつけると良いだろう。

表を利用して場合の数を求める問題2

ヒロ
ヒロ

次の問題の定期テストで出題されたもの。

問題1個のさいころを2回投げるとき,目の和が3の倍数になる場合は何通りあるか。
ヒロ
ヒロ

1個のさいころを2回投げる場合も,1回目と2回目の目を区別するため,全部で36通りの出方がある。

ヒロ
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つまり,2つのさいころの目の和の表を利用することができる。

【考え方と解答】
2回投げたときのさいころの目の和とその場合の数の関係は次のようになる。
\begin{align*}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 目の和 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\\hline 場合の数 & 1 & {\color{red}2} & 3 & 4 & {\color{red}5} & 6 & 5 & {\color{red}4} & 3 & 2 & {\color{red}1} \\\hline\end{array}\end{align*}
赤字の部分が目の和が3の倍数になるときだから,
\begin{align*}
2+5+4+1=12~通り
\end{align*}
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