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【数学IA】2つの2次方程式の共通解に関する問題

2つの2次方程式の共通解数学IAIIB
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ここでは2つの2次方程式の共通解に関する問題を解説します。

大学入試問題にはあまり出題されないかもしれませんが,出題されたときにちゃんと解けるようにしておきましょう。

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2次方程式の共通解に関する問題

ヒロ
ヒロ

実際に定期テストで出題された問題を解いてみよう。

問題2つの2次方程式 $x^2-x-k=0$,$x^2+8x+2k=0$ が共通な解をもつように,定数 $k$ の値を定めよ。また,その共通の解を求めよ。
【考え方と解答】
2つの2次方程式の共通解を $x=\alpha$ とすると
\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha^2-\alpha-k=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]\alpha^2+8\alpha+2k=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
が成り立つ。
$k$ と $\alpha$ の2文字の連立方程式だから,1つの文字を消去しよう。
$\alpha$ を $k$ で表すか,$k$ を $\alpha$ で表すかのどちらかで,式を見ると $k$ を $\alpha$ で表せることが分かる。
①より,$k=\alpha^2-\alpha~\cdots\cdots①’$
②に代入すると
\begin{align*}
&\alpha^2+8\alpha+2(\alpha^2-\alpha)=0 \\[4pt]&3\alpha^2+6\alpha=0 \\[4pt]&\alpha(\alpha+2)=0 \\[4pt]&\alpha=0,~-2
\end{align*}
①’より,
\begin{align*}
(\alpha,~k)=(0,~0),~(-2,~6)
\end{align*}

$k=0$ のとき,2つの2次方程式は
\begin{align*}
\begin{cases}
x^2-x=0 &~\cdots\cdots③\\[4pt]x^2+8x=0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
となる。③の解は $x=0,~1$ であり,④の解は $x=0,~-8$ となるから,$x=0$ が共通解となり条件をみたす。
$k=6$ のとき,2つの2次方程式は
\begin{align*}
\begin{cases}
x^2-x-6=0 &~\cdots\cdots⑤\\[4pt]x^2+8x+12=0 &~\cdots\cdots⑥
\end{cases}
\end{align*}
となる。⑤の解は $x=3,~-2$ であり,④の解は $x=-2,~-6$ となるから,$x=-2$ が共通解となり条件をみたす。
ヒロ
ヒロ

よくある解法は①と②から $\alpha^2$ を消去する方法である。

【別解】
$②-①$ より
\begin{align*}
&9\alpha+3k=0 \\[4pt]&k=-3\alpha
\end{align*}
①に代入して
\begin{align*}
&\alpha^2-\alpha+3\alpha=0 \\[4pt]&\alpha^2+2\alpha=0 \\[4pt]&\alpha(\alpha+2)=0 \\[4pt]&\alpha=0,~-2
\end{align*}
よって,$(\alpha,~k)=(0,~0),~(-2,~6)$
ヒロ
ヒロ

これらは上で確認したように条件をみたす。

【注意すること】
2つの方程式 $f(x)=0,~g(x)=0$ がともに $x=\alpha$ を解にもつとすると
\begin{align*}
f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0
\end{align*}
が成り立つ。さらにこのとき
\begin{align*}
pf(\alpha)+qg(\alpha)=0
\end{align*}
も成り立つ。しかし,$pf(\alpha)+qg(\alpha)=0$ が成り立つからといって
\begin{align*}
f(\alpha)=0~~かつ~~g(\alpha)=0
\end{align*}
となるとは限らない。
例えば,$f(x)=x^2+2x-3$,$g(x)=x+3$ として,2つの方程式 $f(x)=0,~g(x)=0$ を考え,共通解を $x=\alpha$ とする。このとき,$f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0$ が成り立つ。
$f(\alpha)=0$ を解くと
\begin{align*}
&\alpha^2+2\alpha-3=0 \\[4pt]&(\alpha+3)(\alpha-1)=0 \\[4pt]&\alpha=-3,~1
\end{align*}
$g(\alpha)=0$ を解くと
\begin{align*}
&\alpha+3=0 \\[4pt]&\alpha=-3
\end{align*}
したがって,2つの方程式 $f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0$ は $\alpha=-3$ を共通解としてもつことが分かる。
一方で $f(\alpha)-g(\alpha)=0$ を解くと
\begin{align*}
&(\alpha^2+2\alpha-3)-(\alpha+3)=0 \\[4pt]&\alpha^2+\alpha-6=0 \\[4pt]&(\alpha+3)(\alpha-2)=0 \\[4pt]&\alpha=-3,~2
\end{align*}
となり,本来の共通解である $\alpha=-3$ 以外に $\alpha=2$ という解が現れる。
もちろん $\alpha=2$ は $f(\alpha)-g(\alpha)=0$ をみたすが,$f(\alpha)=0,~g(\alpha)=0$ をみたさない。
したがって,$f(\alpha)-g(\alpha)=0$ から求めた $\alpha$ が元の $f(\alpha)=0$ と $g(\alpha)=0$ をみたすかどうかを確認する必要がある。

2次方程式の共通解に関する入試問題

ヒロ
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2011年に立教大で出題された問題を解いてみよう。

2011年 立教大2つの異なる2次方程式
\begin{align*}
x^2+3px+4=0,~x^2+3x+4p=0
\end{align*}
が共通の実数解を持つとき,$p$ の値は $\myhako$ である。ただし,$p\neq1$ とする。
【考え方と解答】
共通解を $\alpha$ とすると
\begin{align*}
\begin{cases}
\alpha^2+3p\alpha+4=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
\alpha^2+3\alpha+4p=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
$①-②$ より
\begin{align*}
&3(p-1)\alpha-4(p-1)=0 \\[4pt]
&(p-1)(3\alpha-4)=0
\end{align*}
$p\neq1$ より,$\alpha=\dfrac{4}{3}$
このとき,①より
\begin{align*}
&\dfrac{16}{9}+4+4p=0 \\[4pt]
&4+9+9p=0 \\[4pt]
&p=-\dfrac{13}{9}
\end{align*}
このとき,2つの方程式は
\begin{align*}
x^2-\dfrac{13}{3}x+4=0~\cdots\cdots③,~x^2+3x-\dfrac{52}{9}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}
となる。③より
\begin{align*}
&3x^2-13x+12=0 \\[4pt]
&(3x-4)(x-3)=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{4}{3},~3
\end{align*}
④より
\begin{align*}
&9x^2+27x-52=0 \\[4pt]
&(3x-4)(3x+13)=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{4}{3},~-\dfrac{13}{3}
\end{align*}
したがって,共通解 $x=\dfrac{4}{3}$ をもつから条件を満たす。
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