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【数学ⅡB】対数方程式【大阪工業大・東京電機大・学習院大・日本女子大・明治薬科大】

対数方程式数学IAIIB
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ここでは,対数方程式について説明します。

様々な対数方程式を解くためには,対数の定義や性質を知って,使いこなせるようになっておかなければなりません。

また,他の方程式と異なり「真数は正である」ことから定義域がすべての実数とならないことが多いため注意が必要です。

細かい部分にも気を配り,正しく計算するようにしましょう。

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2020年 大阪工業大

2020年 大阪工業大$\log_2(x+2)-\log_4(x+3)=1$ を満たす実数 $x$ の値は,$x=\myhako$ であり,$\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$ の範囲において $(\sin y)^{\log_2y}=\dfrac{1}{y}$ を満たす $y$ の値は,$y=\myhako$ である。
【考え方と解答】
まず,真数条件から定義域を求めよう。
\begin{align*} &x+2>0~かつ~x+3>0 \\[4pt]&x>-2
\end{align*}
対数の引き算は真数の割り算になるが,分母に文字が来ないように変形した方が良い。したがって,対数の足し算が現れるように移項しよう。与えられた方程式より
\begin{align*}
&\log_2(x+2)=\log_4(x+3)+1 \\[4pt]&\log_4(x+2)^2=\log_44(x+3) \\[4pt]&(x+2)^2=4(x+3) \\[4pt]&x^2=8 \\[4pt]&x=\pm2\sqrt{2}
\end{align*}
$x>-2$ より,$x=2\sqrt{2}$
$x>-2$ より,$x=2\sqrt{2}$
$(\sin y)^{\log_2y}=\dfrac{1}{y}$ より
\begin{align*} &\log_2\sin y^{\log_2y}=\log_2\dfrac{1}{y} \\[4pt] &\log_2y\Cdota\log_2\sin y=-\log_2y \\[4pt] &\log_2y(\log_2\sin y+1)=0 \\[4pt] &\log_2y=0~または~\log_2\sin y=-1 \end{align*}
$\log_2y=0$ より,$y=1$
$\log_2\sin y=-1$ より,$\sin y=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}<y<\pi$ より,$y=\dfrac{5}{6}\pi$

2020年 東京電機大

2020年 東京電機大$\log_3(x^2)+\left(\log_x\dfrac{1}{27}\right)=7$ を満たす正の実数 $x$ をすべて求めよ。
【考え方と解答】
底と真数条件より,
\begin{align*}
x>0,~x\neq1~\cdots\cdots①
\end{align*}
与えられた方程式より
\begin{align*}
&\log_3x^2+\left(\dfrac{-\log_327}{\log_3x}\right)^2=7 \\[4pt]&2\log_3x+\dfrac{9}{(\log_3x)^2}=7 \\[4pt]&2(\log_3x)^3-7(\log_3x)^2+9=0
\end{align*}
$\log_3x=t$ とおくと,$t\neq0$ であり,
\begin{align*}
&2t^3-7t^2+9=0 \\[4pt]&(t+1)(2t^2-9t+9)=0 \\[4pt]&(t+1)(t-3)(2t-3)=0 \\[4pt]&t=-1,~3,~\dfrac{3}{2} \\[4pt]&x=3^{-1},~3^3,~3^{\frac{3}{2}} \\[4pt]&x=\dfrac{1}{3},~27,~3\sqrt{3}
\end{align*}

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