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【数学ⅡB】等比数列と対数【共立女子大】

等比数列と対数数学IAIIB

等比数列と対数に関する問題について解説します。

等比数列の一般項や和を表す式は,指数部分に文字を含みます。その文字の値や値の範囲を求める場合に,対数を利用することになります。

実際に出題された問題を通して,考え方や計算に慣れましょう。

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2020年 共立女子大

2020年 共立女子大初項が3,公比が2の等比数列を $\{a_n\}$ とするとき,$10^4<a_n<10^6$ を満たす $n$ の値の範囲を求めよ。ただし,$\log_{10}2=0.3010,~\log_{10}3=0.4771$ とする。
【解答と考え方】
一般項は $a_n=3\Cdota2^{n-1}$ であるから,$10^4<a_n<10^6$ より
\begin{align*} &10^4<3\Cdota2^{n-1}<10^6 \end{align*}
辺々の常用対数をとると
\begin{align*} &4<\log_{10}3+(n-1)\log_{10}2<6 \\[4pt] &\dfrac{4-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1<n<\dfrac{6-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1 \end{align*}
ここで
\begin{align*} \dfrac{4-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1&=\dfrac{4-0.4771}{0.3010}+1 \\[4pt] &=12.7\cdots \\[4pt] \dfrac{6-\log_{10}3}{\log_{10}2}+1&=\dfrac{6-0.4771}{0.3010}+1 \\[4pt] &=19.3\cdots \end{align*}
であるから,求める自然数 $n$ の値は
\begin{align*} n=13,~14,~15,~16,~17,~18,~19 \end{align*}
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