Contents
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- 1 互いに素に関する問題
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- 1 互いに素に関する問題2
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- 1 互いに素に関する問題3
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- 1 互いに素に関する問題4
互いに素に関する問題4
2018年 学習院大自然数 $m,~n$ に対して
(1) $m,~n$ が互いに素ならば，$d=1$ または $d=11$ であることを示せ。
(2) $m=2$ のとき，$d=11$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。
\begin{align*}
x=8m+n,~y=5m+2n
\end{align*}
とおく。$x,~y$ の最大公約数を $d$ とする。x=8m+n,~y=5m+2n
\end{align*}
(1) $m,~n$ が互いに素ならば，$d=1$ または $d=11$ であることを示せ。
(2) $m=2$ のとき，$d=11$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
$d$ の値を求めると，$d=1$ または $d=11$ となることを示す必要があるから，与えられている式を $d$ を用いて表そう。
$x,~y$ の最大公約数が $d$ であるから，互いに素な自然数 $a,~b$ を用いて
次は $m$ を消去してみよう。$②\times8-①\times5$ より
$m$ と $n$ は互いに素であるから，$d$ は11の約数である。すなわち，$d=1$ または $d=11$ である。
$d$ の値を求めると，$d=1$ または $d=11$ となることを示す必要があるから，与えられている式を $d$ を用いて表そう。
$x,~y$ の最大公約数が $d$ であるから，互いに素な自然数 $a,~b$ を用いて
\begin{align*}
x=ad,~y=bd
\end{align*}
と表される。よってx=ad,~y=bd
\end{align*}
\begin{align*}
&ad=8m+n~\cdots\cdots① \\[4pt]
&bd=5m+2n\cdots\cdots②
\end{align*}
$m,~n$ のどちらかを消去しよう。$①\times2-②$ を計算して $n$ を消去すると&ad=8m+n~\cdots\cdots① \\[4pt]
&bd=5m+2n\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
(2a-b)d=11m
\end{align*}
これで $d$ が $11m$ の約数であることが分かった。(2a-b)d=11m
\end{align*}
次は $m$ を消去してみよう。$②\times8-①\times5$ より
\begin{align*}
(-5a+8b)d=11n
\end{align*}
よって，$d$ は $11n$ の約数でもある。(-5a+8b)d=11n
\end{align*}
$m$ と $n$ は互いに素であるから，$d$ は11の約数である。すなわち，$d=1$ または $d=11$ である。
(2) $m=2$ のとき，$d=11$ となる最小の自然数 $n$ を求めよ。
【(2)の考え方と解答】
①，②に $m=2$ を代入すると
$①’\times b-②’\times a$ より
$a=1$ のとき，$b=0$ となり，$b$ が自然数でないから不適。
$a=2$ のとき，$b=2$ となり，$a$ と $b$ が互いに素でないから不適。
$a=3$ のとき，$b=4$ となり条件を満たす。このとき，
①，②に $m=2$ を代入すると
\begin{align*}
&ad=n+16~\cdots\cdots①’ \\[4pt]
&bd=2n+10~\cdots\cdots②’
\end{align*}
$①’\times2-②’$ より&ad=n+16~\cdots\cdots①’ \\[4pt]
&bd=2n+10~\cdots\cdots②’
\end{align*}
\begin{align*}
(2a-b)d=22
\end{align*}
よって，$d$ は22の約数である。$d=11$ となるのは，$2a-b=2$ となるときである。(2a-b)d=22
\end{align*}
$①’\times b-②’\times a$ より
\begin{align*}
&(b-2a)n-10a+16b=0
\end{align*}
$b=2a-2$ より&(b-2a)n-10a+16b=0
\end{align*}
\begin{align*}
&-2n-10a+16(2a-2)=0 \\[4pt]
&n=11a-16
\end{align*}
最小の $n$ を求めるから，最小の $a$ を見つけよう。&-2n-10a+16(2a-2)=0 \\[4pt]
&n=11a-16
\end{align*}
$a=1$ のとき，$b=0$ となり，$b$ が自然数でないから不適。
$a=2$ のとき，$b=2$ となり，$a$ と $b$ が互いに素でないから不適。
$a=3$ のとき，$b=4$ となり条件を満たす。このとき，
\begin{align*}
n&=11\times3-16 \\[4pt]
&=33-16=17
\end{align*}
したがって，求める最小の $n$ は $n=17$n&=11\times3-16 \\[4pt]
&=33-16=17
\end{align*}