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互いに素に関する問題【藤田保健衛生大・関西医科大・学習院大】

互いに素に関する問題数学IAIIB
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ここでは互いに素に関する問題について説明します。

まずは「互いに素」とはどういう意味かを知っておきましょう。

互いに素$a$ と $b$ が互いに素であるとは,$a$ と $b$ の最大公約数が1ということである。
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互いに素に関する問題

ヒロ
ヒロ

まずは互いに素に関する重要問題を解いてみよう。

問題自然数 $n$ に対して,$n$ と $n+1$ は互いに素であることを証明せよ。
ヒロ
ヒロ

互いに素であるとは,公約数が1以外に存在しないということである。

ヒロ
ヒロ

「否定語」が使われている場合の証明では,背理法が有効である。

【考え方と解答】
 $n$ と $n+1$ の最大公約数を $g$ とすると,互いに素な自然数 $a,~b$ を用いて
\begin{align*}
n=ag,~n+1=bg
\end{align*}
と表すことができる。これら2式より
\begin{align*}
&ag+1=bg \\[4pt]&(b-a)g=1
\end{align*}
$a,~b,~g$ は自然数であるから,上の等式が成り立つのは
\begin{align*}
b-a=1,~g=1
\end{align*}
の場合のみである。
 したがって,$n$ と $n+1$ の最大公約数は1であるから,$n$ と $n+1$ は互いに素である。
ヒロ
ヒロ

この問題の結果を知識としていつでも使えるようにしておこう。

隣り合う2整数は互いに素連続する2つの整数は互いに素である。

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