互いに素に関する問題【藤田保健衛生大・関西医科大・学習院大】

Contents

互いに素に関する問題2

2017年藤田保健衛生大$a,~b,~c$ が $a^2=b^2+c^2$ を満たす互いに素な正の整数であるとき，次の問いに答えよ。
(1) $b,~c$ のうち，どちらか一方が奇数であり，他方が偶数であることを証明せよ。
(2) $b,~c$ のうち，どちらか一方が4の倍数であることを証明せよ。

【(1)の考え方と解答】
直接証明するのが難しく感じるときは，背理法で証明しよう。
「2数のうち一方が奇数で他方が偶数である」以外のときは，次の2つの場合が考えられる。

2数がともに奇数である
2数がともに偶数である

ただし，いまは $b,~c$ が互いに素であるから，「2数がともに偶数である」ことはない。つまり「2数がともに奇数である」と仮定して矛盾を導けばよいことになる。
　$b,~c$ がともに奇数であると仮定すると，$b^2,~c^2$ はともに奇数であるから，$b^2+c^2$ は偶数である。よって，$a^2$ が偶数，すなわち，$a$ は偶数である。このとき，自然数 $k,~l,~m$ を用いて

\begin{align*}
a=2k,~b=2l-1,~c=2m-1
\end{align*}

と表すことができる。$a^2=b^2+c^2$ より

\begin{align*}
&(2k)^2=(2l-1)^2+(2m-1)^2 \\[4pt]&4k^2=4(l^2-l+m^2-m)+2
\end{align*}

となり，左辺は4の倍数で，右辺は4で割って2余るから矛盾する。　
したがって，$b,~c$ のうち，どちらか一方が奇数で，他方が偶数である。

(2) $b,~c$ のうち，どちらか一方が4の倍数であることを証明せよ。

【「一般性を失わない」について】
　$(b,~c)=(奇数,~偶数),~(偶数,~奇数)$ の2つの場合があるが，$a,~b,~c$ がみたす等式 $a^2=b^2+c^2$ が $b,~c$ について対称であるから，$(b,~c)=(奇数,~偶数)$ のときだけを調べればよい。
　このように，複数の場合があっても特定の場合のみを調べることで，すべての場合を調べたことになるときは「（特定の場合のみを調べても）一般性を失わない」として，それ以外の場合を調べることを省略することができる。