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互いに素に関する問題【藤田保健衛生大・関西医科大・学習院大】

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互いに素に関する問題数学IAIIB

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互いに素に関する問題2

2017年 藤田保健衛生大$a,~b,~c$ が $a^2=b^2+c^2$ を満たす互いに素な正の整数であるとき,次の問いに答えよ。
(1) $b,~c$ のうち,どちらか一方が奇数であり,他方が偶数であることを証明せよ。
(2) $b,~c$ のうち,どちらか一方が4の倍数であることを証明せよ。
【(1)の考え方と解答】
直接証明するのが難しく感じるときは,背理法で証明しよう。
「2数のうち一方が奇数で他方が偶数である」以外のときは,次の2つの場合が考えられる。
  • 2数がともに奇数である
  • 2数がともに偶数である

ただし,いまは $b,~c$ が互いに素であるから,「2数がともに偶数である」ことはない。つまり「2数がともに奇数である」と仮定して矛盾を導けばよいことになる。
 $b,~c$ がともに奇数であると仮定すると,$b^2,~c^2$ はともに奇数であるから,$b^2+c^2$ は偶数である。よって,$a^2$ が偶数,すなわち,$a$ は偶数である。このとき,自然数 $k,~l,~m$ を用いて

\begin{align*}
a=2k,~b=2l-1,~c=2m-1
\end{align*}
と表すことができる。$a^2=b^2+c^2$ より
\begin{align*}
&(2k)^2=(2l-1)^2+(2m-1)^2 \\[4pt]&4k^2=4(l^2-l+m^2-m)+2
\end{align*}
となり,左辺は4の倍数で,右辺は4で割って2余るから矛盾する。 
したがって,$b,~c$ のうち,どちらか一方が奇数で,他方が偶数である。

(2) $b,~c$ のうち,どちらか一方が4の倍数であることを証明せよ。

【「一般性を失わない」について】
 $(b,~c)=(奇数,~偶数),~(偶数,~奇数)$ の2つの場合があるが,$a,~b,~c$ がみたす等式 $a^2=b^2+c^2$ が $b,~c$ について対称であるから,$(b,~c)=(奇数,~偶数)$ のときだけを調べればよい。
 このように,複数の場合があっても特定の場合のみを調べることで,すべての場合を調べたことになるときは「(特定の場合のみを調べても)一般性を失わない」として,それ以外の場合を調べることを省略することができる。
ヒロ
ヒロ

それでは(2)を解いていこう。

【(2)の考え方と解答】
$b$ を奇数,$c$ を偶数としても一般性を失わない。この時点で $c$ が4の倍数であることを示せば良いことが分かる。
このとき $b^2+c^2$ は奇数であるから $a^2$ が奇数,すなわち $a$ は奇数である。自然数 $k,~l,~m$ を用いて
\begin{align*}
a=2k-1,~b=2l-1,~c=2m
\end{align*}
と表すことができる。$a^2=b^2+c^2$ より
\begin{align*}
&(2k-1)^2=(2l-1)^2+(2m)^2 \\[4pt]&4k^2-4k+1=4l^2-4l+1+4m^2 \\[4pt]&k^2-k=l^2-l+m^2 \\[4pt]&m^2=k(k-1)-l(l-1)
\end{align*}
ここで $k(k-1)$ と $l(l-1)$ は2つの連続する整数の積であるからともに偶数である。したがって $l^2$ は偶数であり,$l$ は偶数である。$l=2n$ とおくと,$c=4n$ となり4の倍数となる。
 よって,$b,~c$ のうち,どちらか一方は4の倍数である。
ヒロ
ヒロ

$a^2=b^2+c^2$ をみたす自然数の組 $(a,~b,~c)$ をピタゴラス数というが,ピタゴラス数に関する問題は様々な大学で出題されてるので,見つけたときは積極的に解くようにしよう。

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