Contents
- ページ1
- 1 互いに素に関する問題
- ページ2
- 1 互いに素に関する問題2
- ページ3
- 1 互いに素に関する問題3
- ページ4
- 1 互いに素に関する問題4
互いに素に関する問題3
2017年 関西医科大・改n を自然数とするとき，1から n までの自然数で n と互いに素であるものの個数を f(n) と表す。このとき，f(29)=\myhako であり，f(2017)=\myhako である。また，f(29\times2017)=\myhako である。
【考え方と解答】
f(29) は29以下の自然数のうち，29と互いに素であるものの個数を表す。29は素数であるから1から28までのすべての整数と互いに素である。よって，f(29)=28
f(2017) は2017以下の自然数のうち，2017と互いに素であるものの個数を表す。2017も素数であるから1から2016までのすべての整数と互いに素である。よって，f(2017)=2016
f(29) は29以下の自然数のうち，29と互いに素であるものの個数を表す。29は素数であるから1から28までのすべての整数と互いに素である。よって，f(29)=28
f(2017) は2017以下の自然数のうち，2017と互いに素であるものの個数を表す。2017も素数であるから1から2016までのすべての整数と互いに素である。よって，f(2017)=2016
ヒロ
2017が素数であることがすぐに分かるかどうかで，解くまでの時間が変わる。
ヒロ
次のことを知っておくと良いだろう。
素数判定ある整数 n が素数であるかを調べるときは，n を \sqrt{n} 以下の素数で割ったときに割り切れなければ，n は素数である。
【2017の素数判定】
44^2=1936,~45^2=2025 であるから，44<\sqrt{2017}<45 したがって，2017を43以下の素数で割って割り切れるものを調べる。43以下の素数は
44^2=1936,~45^2=2025 であるから，44<\sqrt{2017}<45 したがって，2017を43以下の素数で割って割り切れるものを調べる。43以下の素数は
\begin{align*} 2,~3,~5,~7,~11,~13,~17,~19,~23,~29,~31,~37,~41,~43 \end{align*}
であり，2017をこれらの数で割っても，すべて割り切れることはないから，2017は素数であることが分かる。 【最後の問題の考え方と解答】 29\times2017 以下の自然数全体の集合を A とする。A の中に29の倍数は2017個あり，2017の倍数は29個ある。また，29と2017の公倍数は 29\times2017 の1個だけであるから \begin{align*} f(29\times2017)&=29\times2017-2017-29+1 \\[4pt] &=(2017-1)(29-1) \\[4pt] &=2016\times28 \\[4pt] &=56448 \end{align*}