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互いに素に関する問題【藤田保健衛生大・関西医科大・学習院大】

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互いに素に関する問題3

2017年 関西医科大・改$n$ を自然数とするとき,1から $n$ までの自然数で $n$ と互いに素であるものの個数を $f(n)$ と表す。このとき,$f(29)=\myhako$ であり,$f(2017)=\myhako$ である。また,$f(29\times2017)=\myhako$ である。
【考え方と解答】
$f(29)$ は29以下の自然数のうち,29と互いに素であるものの個数を表す。29は素数であるから1から28までのすべての整数と互いに素である。よって,$f(29)=28$
$f(2017)$ は2017以下の自然数のうち,2017と互いに素であるものの個数を表す。2017も素数であるから1から2016までのすべての整数と互いに素である。よって,$f(2017)=2016$
ヒロ
ヒロ

2017が素数であることがすぐに分かるかどうかで,解くまでの時間が変わる。

ヒロ
ヒロ

次のことを知っておくと良いだろう。

素数判定ある整数 $n$ が素数であるかを調べるときは,$n$ を $\sqrt{n}$ 以下の素数で割ったときに割り切れなければ,$n$ は素数である。
【2017の素数判定】
$44^2=1936,~45^2=2025$ であるから,$44<\sqrt{2017}<45$ したがって,2017を43以下の素数で割って割り切れるものを調べる。43以下の素数は
\begin{align*} 2,~3,~5,~7,~11,~13,~17,~19,~23,~29,~31,~37,~41,~43 \end{align*}
であり,2017をこれらの数で割っても,すべて割り切れることはないから,2017は素数であることが分かる。 【最後の問題の考え方と解答】 $29\times2017$ 以下の自然数全体の集合を $A$ とする。$A$ の中に29の倍数は2017個あり,2017の倍数は29個ある。また,29と2017の公倍数は $29\times2017$ の1個だけであるから
\begin{align*} f(29\times2017)&=29\times2017-2017-29+1 \\[4pt] &=(2017-1)(29-1) \\[4pt] &=2016\times28 \\[4pt] &=56448 \end{align*}

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