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【数学IA】最小公倍数から自然数を決定する問題

最小公倍数から自然数を決定数学IAIIB
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ここでは最小公倍数から自然数を決定する問題について説明します。

2つの自然数や3つの自然数から最小公倍数を求める問題については,比較的楽に解けるでしょう。

その逆の問題も解けるようにしましょう。

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最小公倍数から自然数を決定する問題

ヒロ
ヒロ

まずは自然数が2つの場合から練習しよう。

問題$n$ と16の最小公倍数が144であるような自然数 $n$ をすべて求めよ。
【考え方と解答】
16と144をそれぞれ素因数分解して,どのような素因数をもっているかを調べよう。
\begin{align*}
&16=2^4 \\[4pt]
&144=12^2=2^4\Cdota3^2
\end{align*}
よって,16との最小公倍数が144になる自然数 $n$ は
\begin{align*}
n=2^a\Cdota3^2~(a=0,~1,~2,~3,~4)
\end{align*}
と表すことができる。
したがって,求める自然数 $n$ は
\begin{align*}
&n=2^0\Cdota3^2,~2^1\Cdota3^2,~2^2\Cdota3^2,~2^3\Cdota3^2,~2^4\Cdota3^2 \\[4pt]
&n=9,~18,~26,~72,~144
\end{align*}

最小公倍数から自然数を決定する問題2

ヒロ
ヒロ

次は3つの自然数の問題を練習しよう。

問題$n$ と12と50の最小公倍数が1500となる自然数 $n$ をすべて求めよ。
【考え方と解答】
12, 50, 1500を素因数分解して考えよう。
\begin{align*}
&12=2^2\Cdota3 \\[4pt]
&50=2\Cdota5^2 \\[4pt]
&1500=2^2\Cdota3\Cdota5^3
\end{align*}
よって,12と50との最小公倍数が1500となる自然数 $n$ は
\begin{align*}
n=2^a\Cdota3^b\Cdota5^3
\end{align*}
と表すことができる。ただし,$a=0,~1,~2$,$b=0,~1$ である。
したがって,求める自然数 $n$ は
\begin{align*}
n&=2^0\Cdota3^0\Cdota5^3,~2^0\Cdota3^1\Cdota5^3,~2^1\Cdota3^0\Cdota5^3, \\[4pt]
&\quad ~2^1\Cdota3^1\Cdota5^3,~2^2\Cdota3^0\Cdota5^3,~2^2\Cdota3^1\Cdota5^3 \\[4pt]
n&=125,~375,~250,~750,~500,~1500 \\[4pt]
n&=125,~250,~375,~500,~750,~1500
\end{align*}
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