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2017年 センター試験 数学ⅡB 第1問 指数関数・対数関数

2017年 センター数学ⅡB 指数関数・対数関数数学IAIIB
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2017年センター試験 数学ⅡB 第1問 指数関数・対数関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年 センターⅡB 指数・対数関数座標平面上に点 $\mathrm{A}\left(0,~\dfrac{3}{2}\right)$ をとり,関数 $y=\log_2x$ のグラフ上に2点 $\mathrm{B}(p,~\log_2p)$, $\mathrm{C}(q,~\log_2q)$ をとる。線分ABを $1:2$ に内分する点がCであるとき,$p,~q$ の値を求めよう。
 真数の条件により,$p>\myBox{タ}$, $q>\mybox{タ}$ である。ただし,対数 $\log_ab$ に対し,$a$ を底といい,$b$ を真数という。
 線分ABを $1:2$ に内分する点の座標は,$p$ を用いて
\begin{align*}
\left(\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}~p,~\dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}~\log_2p+\myBox{ナ}\right)
\end{align*}
と表される。これがCの座標と一致するので
\begin{align*}
\begin{cases}
\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}~p=q &\cdots\cdots④ \\[4pt]
\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}~\log_2p+\mybox{ナ}=\log_2q &\cdots\cdots⑤
\end{cases}
\end{align*}
が成り立つ。
 ⑤は
\begin{align*}
p=\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}~q^{~\myBox{ネ}} \cdots\cdots⑥
\end{align*}
と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて,$p>\mybox{タ}$, $q>\mybox{タ}$ に注意すると
\begin{align*}
p=\myBox{ノ}\sqrt{\myBox{ハ}},~q=\myBox{ヒ}\sqrt{\myBox{フ}}
\end{align*}
である。
 また,Cの $y$ 座標 $\log_2\left(\mybox{ヒ}\sqrt{\mybox{フ}}\right)$ の値を,小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると,$\myBox{ヘ}$ である。$\myBox{ヘ}$ に当てはまるものを,次の⓪~ⓑのうちから一つ選べ。ただし,$\log_{10}2=0.3010$, $\log_{10}3=0.4771$, $\log_{10}7=0.8451$ とする。
⓪ 0.3 ① 0.6 ② 0.9 ③ 1.3 ④ 1.6 ⑤ 1.9
⑥ 2.3 ⑦ 2.6 ⑧ 2.9 ⑨ 3.3 ⓐ 3.6 ⓑ 3.9
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考え方と解答

ヒロ
ヒロ

まずは真数条件の確認からだね。

【タの解答】
$\log_2p$ の真数が正であるから,$p>0$
$\log_2q$ の真数が正であるから,$q>0$
ヒロ
ヒロ

次は内分点の座標を求める問題。仮に公式を忘れていても求められるだろう。

【チ~ナの解答】
$x$ 座標は
\begin{align*}
\dfrac{2\Cdot0+1\Cdot p}{3}=\dfrac{1}{3}p
\end{align*}
であり,$y$ 座標は
\begin{align*}
\dfrac{2\Cdot\dfrac{3}{2}+1\log_2p}{3}=\dfrac{1}{3}\log_2p+1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次の「これがCの・・・」という部分については,さらっと読んで次に進もう。

ヒロ
ヒロ

その次は⑤を変形する問題。対数法則を理解していれば大丈夫だろう。

【ニ~ネの解答】
⑤より
\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}\log_2p+1=\log_2q \\[4pt]
&\log_2p+3=3\log_2q \\[4pt]
&\log_28p=\log_2q^3 \\[4pt]
&8p=q^3 \\[4pt]
&p=\dfrac{1}{8}q^3
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

④と⑥の連立方程式を解こう。

【ノ~フの解答】
④より,$p=3q$ となる。これを⑥に代入すると
\begin{align*}
&3q=\dfrac{1}{8}q^3 \\[4pt]
&q^3-24q=0 \\[4pt]
&q(q^2-24)=0 \\[4pt]
&q=0,~\pm2\sqrt{6}
\end{align*}
$q>0$ より,$q=2\sqrt{6}$
このとき,$p=3q=6\sqrt{6}$
ヒロ
ヒロ

僕と同じように $q$ から求めた人はマークする欄を間違えないように,問題用紙に値を書き込んでからマークしよう。

ヒロ
ヒロ

最後は $\log_22\sqrt{6}$ の近似値を求める問題。$2\sqrt{6}$ を2,3,7,10のいずれかを使って積や商の形で表そう。

ヒロ
ヒロ

あとは底を10に変換すれば値を求めることができるね。

【ヘの解答】
\begin{align*}
\log_22\sqrt{6}&=1+\dfrac{1}{2}\log_26 \\[4pt]
&=1+\dfrac{1}{2}(1+\log_23) \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\log_{10}3}{2\log_{10}2} \\[4pt]
&=1.5+\dfrac{0.4771}{2\Cdot0.3010} \\[4pt]
&\fallingdotseq1.5+\dfrac{48}{60} \\[4pt]
&=1.5+0.8 \\[4pt]
&=2.3
\end{align*}
よって,$\myBox{ヘ}=⑥$
ヒロ
ヒロ

今回は選択肢から選べば良い問題のため,$4771\div6020$ を筆算で計算するのは,時間的なことを考えても得策ではないね。

2017年 センター数学ⅡB 指数関数・対数関数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

対数の真数条件や底の変換公式をしっかり理解していれば,悩む箇所はないはず。

ヒロ
ヒロ

最後の近似値を計算する部分については,適当に近似して計算時間が短くなるように工夫した方が良いだろう。

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