2つの放物線の共通接線を簡単に求める方法【マーク式試験で速答できる】

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相似であることがすぐに分かる入試問題【2019年京都産業大】

ヒロ

相似比と面積比に関連する問題もある。

2019年京都産業大Oを原点とする $xy$ 平面上において，放物線 $y=-2x^2+8x-6$ を考える。この放物線と $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は，$\myBox{ア}$ および $\myBox{イ}$ である。ただし，$\mybox{ア}<\mybox{イ}$ とする。
放物線 $y=-2x^2+8x-6$ の $\mybox{ア}\leqq x\leqq\mybox{イ}$ である部分を $C$ とする。 $C$ 上に点Pをとり，線分OPを $2:1$ に外分する点をQとする。Pの座標が $(a,~b)$ のとき，Qの座標は $\left(\myBox{ウエ},~\myBox{オカ}\right)$ である。Pが $C$ 上を動くとき，Qの軌跡 $C’$ は

\begin{align*}
y=\myBox{キ}\,x^2+\myBox{ク}\,x-\myBox{ケコ}~\left(\myBox{サ}\leqq x\leqq\myBox{シ}\right)
\end{align*}

と表される。$C$ と $C’$ の両方に接する直線 $l$ の方程式は

\begin{align*}
\myBox{スセ}-\myBox{ソ}\sqrt{\myBox{タ}}\,\myBox{チ}-\myBox{ツ}=0
\end{align*}

であり，$l$ と $C$，$l$ と $C’$ の接点の $x$ 座標はそれぞれ $\sqrt{\myBox{テ}},~\myBox{ト}\sqrt{\myBox{ナ}}$ である。
Pが $C$ 上を動くとき，線分OPが通る部分の面積は $\myBox{ニ}\sqrt{\myBox{ヌ}}$ ，線分OQが通る部分の面積は $\myBox{ネ}\sqrt{\myBox{ノ}}$ である。

ヒロ

サクサク解いていこう。

【アとイ】
$y=-2x^2+8x-6$ において $y=0$ として

\begin{align*}
&x^2-4x+3=0 \\[4pt]
&(x-1)(x-3)=0 \\[4pt]
&x=1,~3
\end{align*}

ヒロ

問題文から原点が $C$ と $C’$ の相似の中心であることが分かる。また，$C$ 上の点が原点との距離が2倍になる点に移されることと $x^2$ の係数は $\dfrac{1}{2}$ 倍になることが分かる。

【ウからシまで】
Pの座標が $(a,~b)$ のとき，Qの座標は $(2a,~2b)$ となる。よって，$C$ の2つの端点 $(1,~0)$, $(3,~0)$ はそれぞれ $(2,~0)$, $(6,~0)$ に移される。
また，$C:y=-2(x-2)^2+2$ より $C$ の頂点の座標は $(2,~2)$ であるから，$C’$ の頂点の座標は $(4,~4)$ となる。よって，$C’$ は

\begin{align*}
&y=-(x-4)^2+4~(2\leqq x\leqq6)\\
&y=-x^2+8x-12~(2\leqq x\leqq6)
\end{align*}

ヒロ

2乗に比例する性質を利用して接線の方程式を求めよう。

【スからナまで】
$C$ と $C’$ の共通接線は相似の中心である原点を通る。
$C$ の $x^2$ の係数が $-2$ だから，$l$ と $C$ の接点の $x$ 座標を $t$ とすると

\begin{align*}
2t^2=6
\end{align*}

が成り立つ。$t>0$ より，$t=\sqrt{3}$ となる。

接点の $y$ 座標は

\begin{align*}
-2(\sqrt{3})^2+8\sqrt{3}-6=-12+8\sqrt{3}
\end{align*}

であるから，共通接線 $l$ の方程式は

\begin{align*}
&y=\dfrac{-12+8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}x \\[4pt]
&y=(-4\sqrt{3}+8)x \\[4pt]
&8x-4\sqrt{3}x-y=0
\end{align*}

$C$ と $l$ の接点の $x$ 座標が $\sqrt{3}$ であるから，$C’$ と $l$ の接点の $x$ 座標は $2\sqrt{3}$ となる。

ヒロ

最後は面積を求める問題。計算量を少なくなるように，うまく求めよう。

【ニとヌ】
線分OPが通る部分は図の斜線部分となる。

補助線を引くことで斜線部分を三角形と6分の1公式を使える部分に分割することができる。

斜線部分の面積を $S_1$ とすると

\begin{align*}
S_1&=\dfrac{1}{2}\Cdota3\Cdota(-12+8\sqrt{3})+\dfrac{1}{6}\Cdota2(3-\sqrt{3})^3 \\[4pt]
&=3(-6+4\sqrt{3})+\dfrac{1}{3}(27-27\sqrt{3}+27-3\sqrt{3}) \\[4pt]
&=2\sqrt{3}
\end{align*}