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$x^2$ の係数が異なる2つの放物線の共通接線
ヒロ
次に $x^2$ の係数が異なる2つの放物線の共通接線を考えよう。
ヒロ
すべての放物線が相似であることを利用すると簡単に求めることができる。
放物線 $C, D$ の $x^2$ の係数をそれぞれ $a, b$ とし,頂点をそれぞれP, Qとする。
また,相似の中心をO$’$ とし,共通接線 $\ell$ との接点をそれぞれR, Sとすると,
$x^2$ の係数が異なる2つの放物線の共通接線は赤色の $\ell$ と青色の2本存在し,そのどちらの共通接線も相似の中心O$’$ を通る。ちなみに,青色の共通接線と放物線との接点を黒丸で示していないのは,図の見やすさを優先したためである。
また,相似の中心をO$’$ とし,共通接線 $\ell$ との接点をそれぞれR, Sとすると,
\begin{align*}
\mathrm{O’P:O’Q=O’R:O’S}=\abs{b}:\abs{a}
\end{align*}
が成り立ち,次の図のようになる。\mathrm{O’P:O’Q=O’R:O’S}=\abs{b}:\abs{a}
\end{align*}
$x^2$ の係数が異なる2つの放物線の共通接線は赤色の $\ell$ と青色の2本存在し,そのどちらの共通接線も相似の中心O$’$ を通る。ちなみに,青色の共通接線と放物線との接点を黒丸で示していないのは,図の見やすさを優先したためである。