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数学IAIIB

2020.09.26

Contents

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アポロニウスの円に関する問題【藤田医科大】

2020年藤田医科大

$xy$ 平面上に点A

$(3,~0)$ ，B

$(0,~4)$ がある。

$\text{PA}:\text{PB}=3:2$ となる点Pの軌跡を表す図形の周の長さは

$\myhako\,\pi$ である。

【考え方と解答】

$\text{PA}:\text{PB}=3:2$ より

$\begin{align*} &2\text{PA}=3\text{PB} \\[4pt] &4\text{PA}^2=9\text{PB}^2 \end{align*}$

点Pの座標を

$(X,~Y)$ とすると，

$\begin{align*} &4\{(X-3)^2+Y^2\}=9\{X^2+(Y-4)^2\} \\[4pt] &5X^2+24X+5Y^2-72Y=-108 \\[4pt] &\left(X+\dfrac{12}{5}\right)^2+\left(Y-\dfrac{36}{5}\right)^2=36 \end{align*}$

よって，点Pの軌跡は，中心

$\left(-\dfrac{12}{5},~\dfrac{36}{5}\right)$ ，半径6の円であるから，その周の長さは

$\begin{align*} 2\pi\times6=12\pi \end{align*}$

2点A，Bからの距離の比が3:2である点Pの軌跡

ヒロ

アポロニウスの円に関する知識があると，次のように空欄を埋めることができる。

【別の考え方と解答】
点Pの軌跡は線分ABを

$3:2$ に内分する点Qと外分する点Rを直径の両端とする円である。A

$(3,~0)$ ，B

$(0,~4)$ より

$\begin{align*} \text{Q}\left(\dfrac{6}{5},~\dfrac{12}{5}\right),~\text{R}(-6,~12) \end{align*}$

となる。よって

$\begin{align*} \text{QR}&=\sqrt{\left(\dfrac{6}{5}+6\right)^2+\left(\dfrac{12}{5}-12\right)^2} \\[4pt] &=\sqrt{\dfrac{36^2}{5^2}+\dfrac{48^2}{5^2}} \\[4pt] &=\dfrac{12}{5}\sqrt{9+16}=12 \end{align*}$

したがって，求める長さは

$\begin{align*} \pi\times\text{QR}=12\pi \end{align*}$

ヒロ

空欄を埋めるだけなら座標を求める必要はない。

【座標を求めない考え方と解答】
線分ABを

$3:2$ に内分する点Qと外分する点Rを図示すると，次のようになる。

2点A，Bを3:2に内分する点Qと外分する点R

真面目に図を描けば上図のようになるが，QRの長さが分かれば良いので，実際には，次のように数直線上に4点A，B，Q，Rをとって考えれば良い。

2点A，Bを3:2に内分する点Qと外分する点R

ABの長さに着目すると，

$\fbox{1}=⑤$ であることが分かるから，

$\text{BR}=2\text{AB}$ となる。また，

$\text{QB}=\dfrac{2}{5}\text{AB}$ であることから

$\begin{align*} \text{QR}&=\text{QB}+\text{BR} \\[4pt] &=\dfrac{2}{5}\text{AB}+2\text{AB} \\[4pt] &=\dfrac{12}{5}\text{AB} \end{align*}$

$\sankaku{OAB}$ は

$3:4:5$ の有名直角三角形であることが分かるから，

$\text{AB}=5$ である。
したがって

$\begin{align*} \text{QR}=\dfrac{12}{5}\times5=12 \end{align*}$

となるから，求める点Pの軌跡の長さは

$\begin{align*} \pi\times\text{QR}=12\pi \end{align*}$

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